2.4: 实数的性质
我们已经在第 1 章 中讨论过不同类型的数字。但是，在本节中，我们将使用更复杂的语言来指代它们，并看看它们各自的独特性质。
在数学中，许多不同类型的数字都有名称，你已经遇到过很多这些类型，而且其中一些类型包含了其他的类型。例如，我们可以从整数开始，例如 0、1、2、3 等。使用减法，我们可以通过从一个较大的数字中减去一个较小的数字来构建负数，从而得到集合 {... -3、-2、-1、0} 中的答案。
使用除法，我们可以通过将一个较小的数字除以一个较大的数字来识别 0 和 1 之间的分数，例如 {1/2、2/3、3/4、...} 或 {-1/-2、-2/-3、-3/-4、....}。我们也可以通过将一个负数除以一个正数或一个正数除以一个负数来识别 -1 和 0 之间的负分数 {-1/2、-2/3、-3/4、...} 或 {1/-2、2/-3、3/-4、...}。每个整数都可以写成分数，例如 2 = 2 1 {\displaystyle \textstyle 2={\frac {2}{1}}}
有理数是称为实数的数字的一个子集。一些计算器允许你通过将有理数表示成分数来区分有理数和实数。如果你使用小数表示法，有理数中的小数可能永远持续下去，例如 1 3 = 0.333 … {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}=0.333\ldots } 2 = 1.41421356237 … {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\ldots }
我们从回顾算术的基本性质开始。给下面列出的几个性质如此重视，这可能看起来不寻常，但有一个很好的理由。粗略地说，所有的代数都遵循下面表格中列出的 5 个性质 。在下表中，a 、b 和 c 可以是任何数字，除非另有说明。所以让我们来看看
性质名称
加法
减法
乘法
除法
交换律
a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} 不成立 a − b ≠ b − a {\displaystyle a-b\neq b-a} a + ( − b ) = ( − b ) + a {\displaystyle a+(-b)=(-b)+a}
a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle a*b=b*a} 不成立 a / b ≠ b / a {\displaystyle a/b\neq b/a} a ∗ 1 / b = 1 / b ∗ a {\displaystyle a*1/b=1/b*a}
交换律
( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} 不成立 ( a − b ) − c ≠ a − ( b − c ) {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)} ( a − b ) − c = a − ( b + c ) = a + ( − b − c ) {\displaystyle (a-b)-c=a-(b+c)=a+(-b-c)}
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} 不成立 ( a / b ) / c ≠ a / ( b / c ) {\displaystyle (a/b)/c\neq a/(b/c)} ( a / b ) / c = a ∗ 1 / b ∗ 1 / c = a / b ∗ c {\displaystyle (a/b)/c=a*1/b*1/c=a/b*c}
单位元
a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} a − 0 = a {\displaystyle a-0=a} a ∗ 1 = a {\displaystyle a*1=a} a / 1 = a {\displaystyle a/1=a}
逆元
a + − a = 0 {\displaystyle a+-a=0} a − a = 0 {\displaystyle a-a=0} a ∗ ( 1 / a ) = 1 {\displaystyle a*(1/a)=1} a / a = 1 {\displaystyle a/a=1}
分配律
a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} a ∗ ( b − c ) = a ∗ b − a ∗ c {\displaystyle a*(b-c)=a*b-a*c} a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} ( a + b ) / c = a / c + b / c {\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c} a / ( b + c ) ≠ a / b + a / c {\displaystyle a/(b+c)\neq a/b+a/c}
交换律 是指你可以交换两个数字，仍然得到相同的答案。结合律 是指你可以改变分组（即改变括号的位置），仍然得到相同的答案。单位元律 是指存在一个特定的数字，当它与另一个数字运算时，不会改变另一个数字。逆元律 是指运算结果为单位元的结果。分配律 是指你可以将运算进行分配。在所有这些性质中，分配律可能是你最常用的，因为它是在同一个时间提到加法和乘法的唯一性质。举个例子：这些性质甚至暗示了一些基本的东西，比如："乘法是重复的加法"。这本书不会证明很多东西，但看看它是如何运作的是有帮助的。
我们用 a = 7，b = 1 和 c = 1 应用分配律。
7 · 1 + 7 · 1 = 7 + 7 虽然这可能看起来很明显，但这是上面列出的乘法单位元律 。现在让我们尝试对 7 · 3 做同样的事情。
7 · 3 = 7 · (1 + 1 + 1) 就像之前一样，这仅仅是 3 = 1 + 1 + 1 以及代入的结果。
7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 我们再次应用分配律。注意，我们可以将其应用于括号中包含两个以上数字相加的表达式。证明如下。虽然 7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 不仅由分配律涵盖，但这个问题可以通过将最后两个 1 用括号分组来解决。与其写成 7 · (1 + 1 + 1) ，我们可以写成 7 · (1 + (1 + 1)) ，然后将分配律用于 a = 7，b = 1 和 c = (1 + 1)。然后：7 · (1 + (1 + 1)) = 7 · 1 + 7 · (1 + 1) 。现在我们将分配律仅应用于第二项（取 a = 7，b = 1 和 c = 1 ）。然后（只看第二项）我们有 7 · (1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 。最后，我们可以将此表达式代入第二项，回到方程中，得到：7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 。
这看起来像是无意识的括号处理，但重点是分配律适用于任意长的求和和乘积。这也是真的
a · (b + c + d + e ) = a · b + a · c + a · d + a · e 或者我们可以让它更长！我们可以让求和中的项数任意多；只要 "a · " 出现在等式右边每项的前面，我们就会得到一个正确的语句。我们将使用这个事实，但不加证明（即没有证明）。让我们提醒自己，这些性质告诉我们关于算术的什么。交换律和结合律一起意味着我们加起来东西的顺序并不重要。让我们看看为什么。结合律说 a + (b + c ) = (a + b ) + c a + b + c 的语句。为什么？因为通常加法只定义在两个东西之间，所以当有人写下类似 a + b + c b 和 c 加起来，然后再把 a 加进去，而其他人可能先把 a 和 b 加起来，然后再把 c 加进去。这个性质说（使用公式），无论你以哪种方式做，结果都一样。那么那些先把 a 和 c 加起来的人呢？嗯，这就是交换律发挥作用的地方。它告诉我们，我们不需要按照人们写下东西的顺序来进行加法。你可以交换东西，仍然得到相同的答案。让我们再举一个使用这些性质来 "处理括号" 的例子，看看交换律如何表明你实际上可以先把 a 和 c 加起来，得到相同的答案。
b + c = c + b 这是加法的交换律应用于 b + c
a + (b + c ) = a + (c + b )这是代入的结果
a + (b + c ) = (a + c ) + b 这只是在上面行的右边使用结合律。
交换律和结合律告诉你，我们加起来 a + b + c
乘法的相同性质告诉我们，我们乘起来东西的顺序并不重要。我们可以随意更改顺序，以找到最简单的顺序。它真的会让事情变得更容易吗？当然！例如，如果你被要求计算 4 · 3 · 5 · (1/4)，那么我个人认为计算 4 · (1/4) · 3 · 5 会更容易。
单位元律 和逆元律 真正地捕捉到 "加法和减法是相反的" 和 "乘法和除法是相反的，只要我们不是用零相乘" 的含义。我们将把这个问题留给感兴趣的读者作为练习，让他们思考为什么是这样。
你可以经常使用分配律来简化表达式。这是它如此重要的原因之一。例如，考虑表达式 2(x − 7) + 14 。如果我们对这个表达式中的第一项使用分配律会发生什么？让我们来算一下。根据分配律
2(x − 7) = 2x − 2 · 7 = 2x − 14 将此代入上面的表达式，我们得到 2(x − 7) + 14 = 2x − 14 + 14 = 2x 。显然 2x 比 2(x − 7) + 14 更容易计算！
除法不满足交换律。这意味着通常 a ÷ b 不等于 b ÷ a，可以用简单的例子来证明。
1 2 ≠ 2 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\neq {\frac {2}{1}}}
虽然除法本身不满足交换律，但存在 两种特殊情况，如果颠倒操作顺序，答案（商）相同。这些情况发生在答案（商）为 1 或答案为 -1 时
a ÷ b = b ÷ a ⟺ (rewrite as fractions) {\displaystyle a\div b=b\div a\iff {\mbox{(rewrite as fractions)}}}
a b = b a ⟺ (multiply both sides by a b ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{a}}\iff {\mbox{(multiply both sides by}}\ ab)}
a 2 = b 2 ⟺ (take both square roots) {\displaystyle a^{2}=b^{2}\iff {\mbox{(take both square roots)}}}
a = b 2 or a = − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {b^{2}}}\quad {\mbox{ or }}\quad a=-{\sqrt {b^{2}}}}
a = b or a = − b {\displaystyle a=b\quad {\mbox{ or }}\quad a=-b}
a ÷ b = 1 or a ÷ b = − 1 {\displaystyle a\div b=1\quad {\mbox{ or }}\quad a\div b=-1}
代数中有一些基本定律。理解这些定律将有助于你操作和解方程，以及理解代数关系。
一般来说，项目的顺序可以改变，而不会影响结果。
对于加法， A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}
对于乘法， X Y = Y X {\displaystyle XY=YX}
请注意，交换律不适用于减法或除法。
一般来说，项目的组合可以改变，而不会影响结果。（似乎是交换律的扩展）。
对于加法， A + ( B + C ) = ( A + B ) + C {\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C}
对于乘法， X ( Y Z ) = ( X Y ) Z {\displaystyle X(YZ)=(XY)Z}
与交换律一样，结合律不适用于减法或除法。
表示可以提取公因子，或分配因子。(A + B) X = (A X) + (B X) （右侧的“X”项合并为左侧的因子；左侧的因子“X”分配到右侧）。
考虑将X = (Y + Z) 代入上述方程，得到 (A + B) (Y + Z) = A (Y + Z) + B (Y + Z) 。对右侧的每一项应用分配律得到A Y + A Z + B Y + B Z 。如果我们将以下表达式中用“F O I L”标识的项相乘，我们可以跳过中间步骤(A + B) (Y + Z) =
字母
描述
术语
F
首项
A Y +
O
外项
A Z +
I
内项
B Y +
L
末项
B Z
对于加法和减法 ，恒等律表明，对给定项或数量进行加法和 减法运算，结果为零，0，即加法和减法的单位元。或者，添加单位元不会改变原始值或数量。
A − A = 0 {\displaystyle A-A=0}
将 A 加到第一个方程的两边，我们得到(A - A) + A = 0 + A 。重新排列或代入得到0 + A = A
注意特殊情况，其中A = A + 0 = A + 0 + 0 对于乘法和除法 ，恒等律表明，对给定项或数量进行乘法和 除法运算，结果为“一”，1，即乘法和除法的单位元。或者，乘以或除以单位元不会改变原始值或数量。
1 = Y Y {\displaystyle 1={\frac {Y}{Y}}} 1 = ( Y 1 ) ( 1 Y ) {\displaystyle 1=({\frac {Y}{1}})({\frac {1}{Y}})}
请注意，将 1 除以一项或一个量得到该项或量的倒数。乘以倒数与除以该项或量相同。在上面的右侧方程中，(Y / 1) 和 (1 / Y) 互为倒数。
注意特殊情况，其中 1 = 1 1 {\displaystyle 1={\frac {1}{1}}} 1 ( 1 ) = ( 1 ) ( 1 1 ) {\displaystyle 1(1)=(1)({\frac {1}{1}})} 1 ( 1 ) 1 = ( 1 ) ( 1 1 ) = {\displaystyle {\frac {1(1)}{1}}=(1)({\frac {1}{1}})=}
通过将第一个特殊情况方程代入，简化得到 1 = 1 ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)} 1 = 1 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)(1)} ... 通过将第一个方程的两边乘以“Y” ，我们得到 ( Y ) ( 1 ) = ( Y ) ( Y Y ) {\displaystyle (Y)(1)=(Y)({\frac {Y}{Y}})} （Y）=（1）Y。
问题 2.54 （确定实数的性质）反例 。
a . A n i n t e g e r i s a w h o l e n u m b e r . {\displaystyle a.\ An\ integer\ is\ a\ whole\ number.} b . I f a n u m b e r i s w h o l e i t i s a n a t u r a l n u m b e r . {\displaystyle b.\ If\ a\ number\ is\ whole\ it\ is\ a\ natural\ number.} c . I f a n u m b e r c o n t a i n s a d e c i m a l i t i s a n i n t e g e r . {\displaystyle c.\ If\ a\ number\ contains\ a\ decimal\ it\ is\ an\ integer.} d . I f a n u m b e r i s n a u t u r a l , t h e n i t i s a r e a l n u m b e r . {\displaystyle d.\ If\ a\ number\ is\ nautural,\ then\ it\ is\ a\ real\ number.} e . T h e p r o d u c t o f t w o i r r a t i o n a l n u m b e r s i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r . {\displaystyle e.\ The\ product\ of\ two\ irrational\ numbers\ is\ an\ irrational\ number.}
问题 52 可能的答案
a. 有时成立。数字
-1 是整数，但它不是自然数。
b. 有时成立。数字0 是自然数，但它不是自然数。c. 从不成立。整数包括所有负数和不是分数的自然数。d. 总是成立。实数集部分由自然数组成。
e. 有时成立。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的乘积等于1。
a. 有时成立。数字
-1 是整数，但它不是自然数。
b. 有时成立。数字0 是自然数，但它不是自然数。c. 从不成立。整数包括所有负数和不是分数的自然数。d. 总是成立。实数集部分由自然数组成。
e. 有时成立。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的乘积等于1。
问题 2.55 （识别实数的性质）
a . 4 ( 3 x + 4 ) = 12 x + 16 {\displaystyle a.\ 4(3x+4)=12x+16} b . 6 + 0 = 6 {\displaystyle b.\ 6+0=6} c . ( 2 + 7 ) + 5 = ( 2 + 5 ) + 7 {\displaystyle c.\ (2+7)+5=(2+5)+7} d . ( 3 / 4 ) ( 4 / 3 ) = 1 {\displaystyle d.\ (3/4)(4/3)=1} e . T o d i v i d e 3072 b y 512 , y o u c a n d i v i d e 3072 b y 16 , a g a i n b y 8 , a n d a g a i n b y 4. {\displaystyle e.\ To\ divide\ 3072\ by\ 512,\ you\ can\ divide\ 3072\ by\ 16,\ again\ by\ 8,\ and\ again\ by\ 4.}
第 53 题答案
a. 分配律
b. 加法恒等律
e. 乘法结合律
a. 分配律
b. 加法恒等律
e. 乘法结合律
问题 2.56 （乘积模式）
2 ∗ 2 = 1 ∗ 4 {\displaystyle 2*2=1*4}
4 ∗ 3 = 2 ∗ 6 {\displaystyle 4*3=2*6}
6 ∗ 4 = 3 ∗ 8 {\displaystyle 6*4=3*8}
8 ∗ 5 = 4 ∗ 10 {\displaystyle 8*5=4*10}
10 ∗ 6 = 5 ∗ 12 {\displaystyle 10*6=5*12}
12 ∗ 7 = 6 ∗ 14 {\displaystyle 12*7=6*14}
14 ∗ 8 = 7 ∗ 16 {\displaystyle 14*8=7*16}
问题 2.57 （高斯技巧）
问题 2.58 （操纵高斯技巧）问题 2.55 中使用的技巧来找到多个数字的总和。你能找到以下内容吗？
a. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 201 {\displaystyle 1+2+3+4+...+201} b. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 200 {\displaystyle 2+4+6+8+...+200} c. 101 + 102 + 103 + . . . + 998 + 999 + 1000 {\displaystyle 101+102+103+...+998+999+1000} d. 9 + 12 + 15 + . . . + 54 + 57 + 60 {\displaystyle 9+12+15+...+54+57+60}
问题 2.59 （数字的倒数）加法逆元 相加，你将得到零。同样地，乘法逆元性质指出，如果你将一个数字与其倒数，即其乘法逆元 相乘，你将得到一。找到以下数字的加法和乘法逆元。
a . − 6 {\displaystyle a.\ -6} b . 4 2 3 {\displaystyle b.\ 4{\frac {2}{3}}} c . − 0.33 {\displaystyle c.\ -0.33} d . 2 + 5 {\displaystyle d.\ 2+{\sqrt {5}}}
问题 2.60 （使用分配律）
a . 2 ( 14 x − 26 ) {\displaystyle a.\ 2(14x-26)} b . ( 2 / 3 ) ( 3 x + 9 ) {\displaystyle b.\ (2/3)(3x+9)} c . 3 ( 12 x + 4 y ) {\displaystyle c.\ 3(12x+4y)} d . 2 ( 5 x − 6 ) + 3 ( 3 x + 2 ) {\displaystyle d.\ 2(5x-6)+3(3x+2)} e . ( 4 x + 7 ) ( 2 x − 3 ) {\displaystyle e.\ (4x+7)(2x-3)} f . ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle f.\ (x+1)(x+2)(x+3)}
问题 2.61 （包含三个项的分配律）
( 5 x + 2 y − 4 ) ( 2 x + 7 y + 3 ) {\displaystyle (5x+2y-4)(2x+7y+3)}
问题 2.62 （改写表达式）
2013 ∗ 2014 − 2013 ∗ 1992 2014 − 1992 {\displaystyle {\frac {2013*2014-2013*1992}{2014-1992}}}
问题 2.63 （乘法和分配律）
问题 2.64 （和/差的平方） a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
a . ( a + b ) 2 {\displaystyle a.\ (a+b)^{2}} b . ( a − b ) 2 {\displaystyle b.\ (a-b)^{2}}
问题 2.65 (棘手的乘积)
a . ( 101 ) 2 {\displaystyle a.\ (101)^{2}} b . ( 95 ) 2 {\displaystyle b.\ (95)^{2}} c . ( 998 ) ( 999 ) {\displaystyle c.\ (998)(999)} d . ( 63 ) ( 57 ) {\displaystyle d.\ (63)(57)} e . ( 71 ) 2 {\displaystyle e.\ (71)^{2}}
问题 63 的答案
a. 10201
b. 9025
e. 5041
a. 10201
b. 9025
e. 5041
问题 2.66 (1001 的秘密)
问题 2.67 (ABCD) a − d {\displaystyle a-d} b + c {\displaystyle b+c}
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
问题 64 的解答
从以下开始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
将以上重写为以下形式
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
利用加法交换律，该表达式可以重写为
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
利用分配律，可以进一步写成
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 从以下开始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
将以上重写为以下形式
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
利用加法交换律，该表达式可以重写为
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
利用分配律，可以进一步写成
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 问题 2.68 (实数的稠密性)实数的稠密性 指出在任意两个实数之间，都存在另一个实数。利用这个性质证明在 0 和 1 之间存在无限多个实数。
问题 60 的解答
让我们在 0 和 1 之间选择一个数，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然后，我们可以选择 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之间的数，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及在
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之间的数，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我们可以继续下去，我们仍然会始终找到我们选择的任意两个数之间的数。因此，在 0 和 1 之间存在无限多个实数。
让我们在 0 和 1 之间选择一个数，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然后，我们可以选择 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之间的数，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及在
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之间的数，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我们可以继续下去，我们仍然会始终找到我们选择的任意两个数之间的数。因此，在 0 和 1 之间存在无限多个实数。
闭包 是为一组实数和一个运算定义的性质。 这篇维基百科文章 对闭包性质进行了描述，并列举了来自数学各个领域的例子。 作为一名代数学生，了解闭包性质可以帮助你解决问题。 例如，一个问题可能陈述“两个整数的和为 24”。 通过练习，你会发现可能的数字集合要么都是奇数（例如 (1,23),(3,21), ...等等），要么都是偶数（例如 (2,22), (4,20), ...等等）。 问题可能不会明确说明整数的概念。 它可能说明正方形的两条边之和为 24。 如果你记得之前做过类似的题目，你就会知道正方形的边长必须相等，所以你需要除以 2。 问题作者可能会更狡猾一点，说等边三角形的两条边之和为 24，然后让你求三角形的周长。 在这种情况下，你可能需要写下等式 3 x = p {\displaystyle 3x=p}
问题 2.69 （运算的闭包）
加法
减法
乘法
除法
幂运算
根运算
ℕ
𝕎
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
问题 2.70 （集合的闭包） { a , b , c , d , e } {\displaystyle \{a,b,c,d,e\}}
*
a
b
c
d
e
a b
c
e
a
d
b d
a
c
b
e
c c
d
b
e
a
d a
e
d
c
b
e e
b
a
d
c
该集合在乘法下闭合吗？
实数 a {\displaystyle a} 绝对值 （或模数 ）用 | a | {\displaystyle |a|} 始终为非负数 。 例如，左边的图示显示了以下内容
| − 5 | = 5 | 3 | = 3 {\displaystyle |-5|=5\ |3|=3} -5 的绝对值为 5，因为它离零 5 个单位，3 的绝对值为 3，因为它离零 3 个单位。 正数或零的绝对值始终是它本身。 相反，负数的绝对值是它的相反数。
同样地，数轴上两个数字之间的距离可以看作它们之间的差的绝对值。
问题 2.71 （数字排序 I）
2.1 , − 4 , 1 2 , π , 3.99 , − 3 4 , − 0.25 , π 3 {\displaystyle 2.1,-4,\ {\frac {1}{2}},\ \pi ,\ 3.99,\ -{\frac {3}{4}},\ -0.25,\ {\frac {\pi }{3}}} 问题 69 的答案
a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} 问题 2.72 （数字排序 II）问题 2.68 中数字的绝对值按顺序排列： (a) 从最小到最大 (b) 从最大到最小。
问题 70 的答案
a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} 问题 2.73 （绝对值表达式）
a . | − 88 | {\displaystyle a.\ |-88|} b . | 3 − 16 | {\displaystyle b.\ |3-16|} c . | − 14 | + | 3 | {\displaystyle c.\ |-14|+|3|} d . | | − 5 | − 3 | {\displaystyle d.\ ||-5|-3|} e . | 1 − 3 | + | 2 − 2 | − | 3 − 2 | {\displaystyle e.\ |1-{\sqrt {3}}|+|2-{\sqrt {2}}|-|{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}|}
f . 3 − 2 | 2 − 10 | + 11 {\displaystyle f.\ 3-2|2-10|+11} g . | − ( − 5 ) | − | 3 | − 3 {\displaystyle g.\ {\frac {|-(-5)|-|3|}{-3}}} h . 2 | 3 ∗ 2 2 − 1 | − 10 | − 2 | 6 {\displaystyle h.\ {\frac {2|3*2^{2}-1|-10|-2|}{6}}} i . ( 5 − 6 ) 2 − 2 | 3 − 7 | 89 − 3 ∗ 5 2 {\displaystyle i.\ {\frac {(5-6)^{2}-2|3-7|}{89-3*5^{2}}}}
解答问题71
a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 问题2.74 (绝对值比率) x < 0. {\displaystyle x<0.}
| x | x {\displaystyle {\frac {|x|}{x}}} 问题2.75 (值域 I) 24 < x < 39 {\displaystyle 24<x<39}
| x − 24 | + | x − 39 | {\displaystyle |x-24|+|x-39|} 问题2.76 (值域 II) − 12 ≤ x < 12 {\displaystyle -12\leq x<12}
| x − 14 | + | x − 12 | + | x + 12 | + | x + 14 | {\displaystyle |x-14|+|x-12|+|x+12|+|x+14|} 问题 2.77 （值域 III） − 19 ≤ x ≤ y ≤ 4 {\displaystyle -19\leq x\leq y\leq 4}
| x + 19 | + | x − y | + | y − 4 | {\displaystyle |x+19|+|x-y|+|y-4|} 问题 2.78 （最小可能绝对值）n 是一个整数，那么以下表达式的最小可能值为多少？
| 123 − 5 n | {\displaystyle |123-5n|} 问题 2.79 （三角形不等式）
| a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} a. 使用此关系确定边长分别为 6、9 和 14 的三角形是否存在。b. 使用此关系确定边长分别为 5、10 和 15 的三角形是否存在。c. 除了几何应用之外，上述不等式还表明，两个数 a 和 b 的和的绝对值小于或等于 a 的绝对值和 b 的绝对值的和。证明这种关系是正确的。
我们将在代数的大部分时间里使用的所有数字都称为实数。它们包括有理数和无理数。无理数是指小数点后无限不循环的小数，例如圆周率。有理数是指所有可以表示为整数的比率的数字，包括自然数、整数、整数和有理数。对于所有实数，加法和乘法都有几个性质：交换律、结合律、恒等律、逆律和分配律。分配律在课程的剩余部分将会非常有用。
