数学证明/证明方法/反例

附录

反例证明从技术上讲不是一个证明。它仅仅是一种通过展示一个与普遍陈述相矛盾的实例，来表明一个给定陈述不可能是正确的。例如，如果你想证明“所有芝士蛋糕都是在阿拉斯加烘焙的”这个陈述，并且你不知道是应该用反证法还是反证法来证明它，我所要做的就是在这里在德克萨斯州当着你的面烤一个芝士蛋糕，然后你就会知道你的努力是徒劳的。

考虑以下陈述

每个集合都是可数的。

当然，对这个陈述的反例将是从 $[0,1]\subset \mathbb {R}$ 区间。为了证明这个区间不可数，我们假设它是可数的，因此存在一个双射函数 $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ ，因为 $f$ 是双射的，我们可以将 $[0,1]$ 的元素列出来，我们将 $[0,1]$ 中的数字以小数形式写出来。

$f(1)=.b_{(1,1)}b_{(1,2)}b_{(1,3)}b_{(1,4)}\ldots$

$f(2)=.b_{(2,1)}b_{(2,2)}b_{(2,3)}b_{(2,4)}\ldots$

$f(3)=.b_{(3,1)}b_{(3,2)}b_{(3,3)}b_{(3,4)}\ldots$

$\vdots$

为了证明的目的，我们需要每个实数都被一个小数唯一地定义。当然，这在几乎所有情况下都是正确的（例如，取 .01... 它等于 .00999999999...）。事实上，不正确的情况恰好是当小数以一系列零结尾或“终止”时（需要单独证明，但现在接受它是真的）。因此，让所有小数都以“非终止形式”出现，这样小数展开式和实数之间就存在另一种双射。

现在，如果 $b_{(i,i)}$ 为奇数，则令 $a_{i}=0$ ；如果 $b_{(i,i)}$ 为偶数，则令 $a_{i}=1$ 。现在，我断言 $x=.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\ldots$ 不在列表中。为了证明这一点，假设它在列表中，那么对于某个 $n\in \mathbb {Z} ,f(n)=.b_{(n,1)}b_{(b,2)}\ldots b_{(n,n)}\ldots$ ，但如果 $b_{(n,n)}$ 为奇数，则 $a_{n}=0$ ；如果 $b_{(n,n)}$ 为偶数，则 $a_{n}=1$ ，这是不可能的，所以我们得出结论： $.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\ldots$ 不在列表中，这表明我们可能没有从 $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ 的满射。