代数/第 2 章/集合

代数

2.3: 集合

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在本节中，我们主要设置了一些有用的符号。虽然这里的想法对于代数研究不是非常核心，但它们确实会不时出现，所以请注意！正因为这些想法不是每页都会重复出现，所以当它们在后面突然出现时可能会令人困惑。所以，请准备好根据需要重新访问本节以刷新记忆。

集合和数轴

集合是事物的集合。它们也是表达式的一个例子，因为集合也描述了我们感兴趣的数学对象，在这种情况下，是一组对象。

集合的例子可能是英语字母中使用的字母的集合，或者约翰·斯坦贝克写的书的集合。对我们来说，我们将讨论的集合通常是数字的集合，因为这些是在代数中很重要的集合。集合中的每一件事物都称为该集合的元素。集合中的元素数量可能是有限的，也可能是无限的。唯一的要求是，集合的元素应该以某种方式明确地描述，现在或将来（在我们解决了一些问题之后）。在这本书中，我们主要尝试使用大写字母作为集合的符号，而小写字母通常（但不总是！）用于变量。

一个集合可能没有任何元素；这样的集合被称为空集或零集。对于空集，我们使用符号 ∅ 来表示它。

一个集合可以通过在集合的元素列表周围放置花括号，即 { 和 }，并用逗号分隔每个元素来编写。例如，一个包含从 1 到 10 的自然数或整数的集合 S 可以表示如下

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\,$

并不总是可以列出集合中的所有数字。在这些情况下，我们依靠英语来描述集合。没错！文字也是数学的重要组成部分。最后也是可能最常见的符号涉及使用变量和代数表达式，以及对变量可以取值的描述。例如，要描述平方数的集合，我们可以写

$\{n^{2}\mid n{\text{ is a whole number.}}\}$

或者我们甚至可以使用其他集合在描述中，例如

${\Big \{}n^{2}\mid n\in \{0,1,2,3,\ldots \}{\Big \}}$

有时我们想明确地表明某个特定数字（或事物）在集合中。保留上面的示例中的 S，我们知道 2 是 S 的一个元素，而不是用英语写出来，有时人们使用简写形式 2 ∈ S。选择符号 ∈ 是因为它看起来像字母 E，而 E 是“元素”这个词的第一个字母。如果我们想表达某物不是集合的一部分，我们使用符号 ∉。所以为了继续我们的例子，我们知道 11 ∉ S。

让我们来看一个练习题。

问题。对于以下每个集合，确定 7 是否在集合中

1. A={1, 2, 3, 5}
2. 奇数集合 O。
3. C={1, 2, 3, 4, 5, …, 100}
4. 所有素数的集合 P。

答案。

1. 我们可以通过检查发现 7 ∉ A。
2. 7 ∈ O，因为 7 是一个奇数。
3. 7 ∈ C。这是一个有点技巧的问题。虽然还没有明确地说出来，但在列出元素时，人们有时使用 … 表示“遵循模式”。在数学的其他部分，… 继续以这种方式使用，所以现在是时候习惯它了。这里的模式是我们从 1 开始，然后不断地将数字增大 1，所以是的，如果我们继续下去，我们将到达 7。
4. 7 ∈ P。这个问题要求我们尝试分解 7，或者之前已经知道它是素数。由于 2、3、4、5、6 在我们用它们除以 7 时都会留下余数，因此我们看到 7 是一个素数。

我们现在介绍了当您有两个或多个集合时出现的基本概念。

子集和超集

有时，一个集合中的每个元素都包含在另一个集合中。例如，设 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 且 T = {2, 4, 6, 8, 10}。显然 T 只是 1 到 10 之间的偶数，并且 T 中的每个数字都已在 S 中。在这个例子中，我们会说 T 是 S 的子集。我们不必说哪个集合更小，而是可以改为说哪个集合更大，将其称为超集。也就是说，我们可以说 S 是 T 的超集。随着人们越来越多地处理集合，人们越来越倾向于说 T 小于 S（或者可能是 小于 S）。事实上，我们已经说了！因为一个集合包含在另一个集合中的关系与一个数字小于另一个数字的关系非常相似，所以自然而然地引入了与不等式符号 < 非常相似的符号。为了避免将集合与数字混淆，我们不想使用完全相同的符号，所以我们将稍微圆化一点，使用符号 ⊂。因此，与其用文字写出“T 是 S 的子集”，我们可以写 T ⊆ S。就像不等式一样，我们可以翻转符号。我们只需要确保圆的一侧指向更小的东西。也就是说，对于我们的例子，我们可以写 S ⊃ T。

如果两个集合具有完全相同的元素怎么办？在这种情况下，我们说这两个集合是相等的。所以，如果有人说让我们 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，那么我们说 S 和 U 是相等的。这次我们不用担心将集合和数字混淆，我们将坚持使用符号 = 来表示两个集合相等的情况。所以我们可以写 S = T。是否有对应于 ≤ 和 ≥ 的关系？是的，它们是 ⊆ 和 ⊇，并且它们按您预期的方式工作。这里有一个表格解释了这些符号是如何工作的。

空集是所有集合的子集。

语句	含义
T ⊂ S	表示 T 是 S 的子集。也就是说，T 的每个元素都是 S 中的一个元素，但 S 中存在一些不在 T 中的元素。
T ⊃ S	表示 S 是 T 的子集。也就是说，S 的每个元素都是 T 中的一个元素，但 T 中存在一些不在 S 中的元素。
S = T	表示 S 和 T 具有完全相同的元素。也就是说，用更多一些的词来说，S 的每个元素都是 T 的一个元素，并且 T 的每个元素都是 S 的一个元素。
T ⊆ S	表示 T 的每个元素都是 S 的一个元素。（注意，这样说允许 S = T 的可能性）
S ⊇ T	表示 T 的每个元素都是 S 的一个元素。

维恩图

维恩图使用简单的闭合曲线（如平面上的圆形）来显示集合之间的逻辑关系。

约翰·维恩

并集和交集

集合还有两种操作。给定集合S和T，我们可能想要谈论所有在S或T中的元素。由于集合只是一个事物的集合，而“在S或T中的元素”也是一个集合，所以你可以将此视为定义一个称为S和T的**并集**的新集合。我们用S ∪ T来表示S和T的并集。我们使用符号∪，因为它看起来像u，而u是“并集”一词的第一个字母。让我们举个例子。

问题。假设S = {2, 4, 6, 8, 10}和T = {3, 6, 9, 12, 15}，求S ∪ T。

答案。S ∪ T = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15}

在这个例子中需要注意的一点是，S ∪ T不包含两个6。并集包含两个集合中的所有元素，但6仍然是一个事物，恰好在两个集合中。

给定集合S和T，与其考虑在任一集合中的事物，不如考虑在两个集合中的事物。我们再次考虑“S和T中所有元素的集合”，这个集合称为S和T的**交集**。我们用S ∩ T来表示S和T的交集。我们不使用符号∩，因为它看起来像i。它没有。不知何故，两个符号之间的i看起来并不好，所以我们想选择其他的东西。这个符号只是并集符号的倒置。让我们考虑一下上面问题中的交集是什么样子的。

问题。假设S = {2, 4, 6, 8, 10}和T = {3, 6, 9, 12, 15}，求S ∩ T。

答案。S ∩ T = {6}

数字6是两个集合中唯一的数字，所以它是交集的唯一元素。

下标

在像“令x和y为数字”这样的句子中，我们可以推测$x=y$的可能性。如果我们希望排除这种可能性，我们会明确说明。我们会说“令x和y为不同的数字”。我们可以继续这种模式，谈论两个以上的变量，例如在句子“令x，y和z为数字”中。但字母表中只有二十六个字母。在有限的选择中，我们显然会在枚举变量时用完字母。因此，我们使用带下标的新符号，即写在数字旁边的微小数字。我们可以像下面这样使用这种新符号

$Let\ x_{1},\ x_{2}\ be\ numbers.$ $Let\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ be\ numbers.$ $Let\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}\ be\ numbers.$

当然，这句话最一般的情况是

$Let\ x_{1},......,x_{n}\ be\ numbers.$

其中n代表集合中的对象数量。