代数/代数基本定理

对于任何具有复系数的非常数多项式，都至少存在一个复根。

此外，它的次数也是其根的数量（含重根）。

证明

设有一个非常数多项式

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\quad (a_{n}\neq 0)$

那么我们有 $\lim _{z\to \infty }|p(z)|=\infty$. 由于函数 $|p(z)|$ 是连续的，所以存在一个 $z_{0}\in \mathbb {C}$ 使得 $|p(z_{0})|=\min _{z\,\in \,\mathbb {C} }|p(z)|$.

让我们写 $p(z)=p(z_{0})+(z-z_{0})^{m}q(z)$，对于 $m\in \mathbb {N}$ 和一个多项式 $q(z)$ 使得 $q(z_{0})\neq 0$.

设 ${\overline {p(z_{0})}}$ 是 $p(z_{0})$ 的复共轭。 那么对于所有 $z\in \mathbb {C}$ 我们得到

${\begin{aligned}&|p(z_{0})|^{2}\leq |p(z)|^{2}=|p(z_{0})|^{2}+|z-z_{0}|^{2m}|q(z)|^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}(z-z_{0})^{m}q(z)\,\right]\\[5pt]&|z-z_{0}|^{2m}|q(z)|^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}(z-z_{0})^{m}q(z)\,\right]\geq 0\end{aligned}}$

令 $z=z_{0}+re^{\theta i}$ 其中 $r>0$

${\begin{aligned}&r^{2m}{\bigl |}q(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}\,r^{m}e^{m\theta i}q(z_{0}+re^{\theta i})\,\right]\geq 0\\[5pt]&r^{m}{\bigl |}q(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}q(z_{0}+re^{\theta i})e^{m\theta i}\,\right]\geq 0\end{aligned}}$

当 $r\to 0^{+}$ 时取极限，得到

${\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})e^{m\theta i}\,\right]\geq 0$

令 $c={\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})$ 且 $\omega ={\text{cis}}\!\left({\frac {\pi }{2m}}\right)$.

将 $e^{\theta i}=1,\omega ,\omega ^{2},\omega ^{3}$ 代入不等式，根据棣莫弗定理，我们得到

${\begin{aligned}&{\text{Re}}(\pm c)=\pm \,{\text{Re}}(c)\geq 0\\&{\text{Re}}(\pm ci)=\mp \,{\text{Im}}(c)\geq 0\end{aligned}}$

因此 ${\text{Re}}(c)={\text{Im}}(c)=0$，所以 ${\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})=0$.

因此，根据 $q(z_{0})\neq 0$，我们得到 ${\overline {p(z_{0})}}=p(z_{0})=0$.

$\blacksquare$

参考资料和作者

• McDougal 代数2
• Holt 代数2
• Lial, Hornspy, Schenider 预备微积分
• Alvin Ling（初稿）