代数/多项式

代数

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通过练习，线性函数的斜率概念变得直观。可以理解，适合方程 $y=2x$ 的直线比适合方程 $y=1/2x$ 的直线上升得更陡峭。您只需水平移动一个单位，即可在绘制 $y=2x$ 时将您的垂直方向更改两次。对于直线 $y=1/2x$ ，您需要水平移动多少个方块才能将您的垂直方向更改一个单位？

当我们表达像 $y=x^{2}$ 这样的抽象行为时，所代表内容的抽象行为变得难以理解。

一个单项式，例如，x，是一个形式为

cx^{m}\

其中

$c$ 是一个常数，并且
$m$ 是一个非负整数（例如，0、1、2、3、…）。

整数 $m$ 被称为单项式的次数。

零次单项式的概念看起来有点神秘，因为它总是代表 1，除非变量的值被设置为零，此时结果是未定义的。这个想法使我们能够保留单项式中常数的值。我们知道 $cx^{0}$ 总是等于 $c$ ，因为即使我们有 0 个 x（事物），我们仍然有 c。当 x = 0 时，事情变得困难，因为我们开始的值 0 代表的是什么都没有。

对于一个一次方单项式，我们用变量的一个实例来乘以 C。当 $x=0$ 时，我们得到 $c*0=0$ 。当 $x\neq 0$ 时，我们用 1 个 x 乘以 c。如果 x 小于 1，则 c 变小；如果 x 大于 1，则 c 变大。当 x 在 0 到 -1 之间时，c 变小得更慢；当 x 小于 -1 时，c 变小得更快。

一个二次单项式是指对 x 的值“平方”的单项式。平方这个词的来源是，使用一次乘法运算可以让我们测量面积。如果你有一个每边都是一个单位的物体，这被称为一个平方单位。如果你将正方形单位的两边都分成一半，你会得到 4 个四分之一单位。我们用数学来表示这一点，方法是执行乘法运算 $1/2*1/2=1/4$ 。对某事物进行平方是一个非直观的运算，直到你熟悉了函数的图形。我们可以用一个数学家的故事来解释这一点。这个数学家被他的国王许诺了一个奖励。这位数学家说他想要一粒小麦，每天平方 30 天。在头七天，国王的仆人向数学家送了 1、2、4、16、256、65,536 颗小麦。第七天，这个值是 4,294,967,296（在计算机术语中是 4G）…有时这个故事以国王重新谈判而告终，有时这个故事以国王处决数学家来保卫他的王国而告终，有时国王足够精明而不接受这个交易。

一个三次单项式是将 x 的值“立方”的单项式。这是因为我们使用运算 x*x*x 来测量给定面积 x*x 所占据的体积。如果你有一个每边都是 1 个单位的立方体，并将每边切成一半，你会发现你创造了 8 个立方体。如果数学家要求将单粒小麦立方，那么仆人就会交付 1、8、512、 $134\times 10^{6}$ 、 $242\times 10^{22}$ 粒小麦，国王的交易将需要提前两天重新协商。

多项式

一个关于单个变量 x 的多项式，是一个代数表达式，它是若干个单项式的和。多项式的次数是和中单项式的最高次数。一个多项式 $P(x)$ 可以一般性地表示为以下形式

P(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{i}x^{i}+...a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\

或

\ P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

常数 a_i 称为多项式的系数。

上述和中每个系数 a_i ≠ 0 的单个单项式被称为多项式的项。当 i = 0 时，xⁱ = 1，相应的项仅仅等于常数 a_i。同样，当 i = 1 时，相应的项等于 a_i x。

有两个项的多项式称为二项式。具有三个项的多项式称为三项式。

多项式方程

我们把所有只有一个自变量的函数都称为 $P(x)$ 。每个 $P(x)$ 的实例都可以用一个方程（单项式或多项式）来表示，这个方程可能在一个或多个地方使因变量等于零。这些地方被称为根，它们代表使函数 $P(x)=0$ 成立的 x 的值。这些根被称为多项式的零点（单数为零点）。

一个一次多项式，当你把它画出来时，总看起来像一条直线，并且总是有一个实数零点。一个二次函数，二次多项式，可以有 0、1 或 2 个实数零点。一个三次函数，三次多项式，可以有 1 或 3 个实数零点。一个四次多项式可以有 0、2 或 4 个实数零点。复数（非实数）零点，如果存在，总是成对出现。一般来说，一个 n 次多项式，其中 n 是奇数，可以有 1 到 n 个实数零点。一个 n 次多项式，其中 n 是偶数，可以有 0 到 n 个实数零点。

当我们绘制多项式图时，每个零点都是多项式与 x 轴交叉的地方。一个一次多项式可以一般性地写成 $P(x)=Mx+C$ ，其中 M 和 C 可以是任何实数。我们会看到，二次函数是曲线。曲线可以在它接触 X 轴之前弯曲，在这种情况下它没有零点。曲线可以在它接触 X 轴时弯曲，在这种情况下它只有一个零点。或者它可以在 X 轴上方或下方打开，在这种情况下它将有两个零点。如果你仔细想想，你会发现次数为奇数（1、3、5 ...）的多项式必须是正数和负数，所以它们必须至少与 X 轴交叉一次。次数为偶数（2、4、6 ...）的多项式可能总是正数或负数，并且从不具有零点。

通常我们以 $P(x)=y$ 的形式来表示一个函数，但当我们寻找函数的根时，我们希望 y 等于零，所以我们解方程 $P(x)$ ，其中 $P(x)=0$

阶数	名称	凸起数量	应用领域
1	一次	无凸起 - 直线	直线方程
2	二次	一个凸起	涉及面积和振动
3	三次	两个凸起	涉及体积
4	四次	三个凸起	一些物理方程（融化的冰）
n (5+)		n-1 个凸起	非常罕见

解多项式方程

一些多项式方程可以通过因式分解求解，所有 1-4 次方程都可以通过公式完全求解。高于 4 次方程，没有完全求解的公式，你必须依靠数值分析或因式分解。这意味着对于大于 4 次的多项式，通常不可能找到精确解。

多项式方程的有理根

通常我们对多项式有理根感兴趣。根就像数字的因子。例如，所有偶数都有因子 2。这意味着你可以将偶数写成 2 乘以另一个数字。也就是说数字 2、4、6、8... 可以写成 2*1、2*2、2*3、2*4... 。这个事实在你遇到两个偶数的商时很有用。给定两个偶数的商，称为 N 和 M $N/M$ ，你可以通过将它重新写成 $2n/2m$ 来约简分数。通过将分数保持在最简形式，更容易知道何时可以添加或减去它们，而无需寻找公分母。

多项式方程应用的示例

有一个故事说，在小学时，数学家高斯被要求依次加 1 到 100 的数字。据说他直觉地意识到这个和可以用公式 n(n+1)/2 表示，并迅速给出了答案 5050。这个公式的基础是 1 到 49 的数字加 99 到 51 的数字，每个都得到 100。有趣的是看看这个公式如何适用于 9 和 10 的值。对于 10，我们将 1+9、2+ 8、3+ 7、4+ 6 的数字加起来得到 40，然后将剩余的两个项 5 和 10 加起来得到 55。对于 9，我们将 1 + 8、2 + 7、3 + 6、4+ 5 的项加起来得到 4*9 = 36 + 9 = 45。在第一种情况下，n + 1 是奇数，表示添加 10 和中间数字 5。在第二种情况下，n 是奇数，而 n+1 表示公式中前面项的和。你可能会或可能不会发现像这样的故事很有趣，这取决于你的个性如何对所谓的数学基础危机做出反应。学习数学很像学习一门外语。有些人似乎比其他人更擅长学习语言，但通过努力工作，我们所有人都可以学习一门新的语言。

将多项式相乘

当我们将多项式相乘时，我们高度依赖分配律。

例如，当我们将 67 乘以 5 时，我们可以将方程分成 (60 + 7)*5 = (300 + 35) = 335。此外，我们可以应用交换律来乘以多位数。67*25 = (60 + 7)(20 + 5) = ((60 + 7)*20) + ((60 + 7) *5) = (60*20) + (7*20) + (60*5) + (7*5) = 1200 + 140 + 300 + 35 = 1675。这些属性是机械计算工具算盘不同形式的基础。

当将多项式相乘时，我们进行类似的操作。我们使用交换律将乘数分解成其组成部分，并将被乘数乘以每个组成部分。例如，要将 $x^{2}+x$ 乘以 $x+1$ ，我们首先将被乘数和乘数写成 x 的幂的形式。这给了我们 $x^{2}+x+0x^{0}$ 和 $x+1x^{0}$ 。零次幂项代表方程中的常数整数项。接下来，我们应用交换律将方程重写为 $[(x^{2}+x+0x^{0})*1x^{1}]+[(x^{2}+x+0x^{0})*1x^{0}]$ 。我们将这些方程简化为 $[x^{3}+x^{2}+0x^{1}]+[x^{2}+x+0x^{0}]$ （注意我们的整数项如何被消去）。最后，我们将同类项组合起来得到答案 x^3 + 2x^2 + x +0x^0。让我们在更熟悉的乘法竖式格式中重复一遍。

         1x^2 + 1x^1 + 0x^0
*               1x^1 + 1x^0
--------------------------
         1x^2 + 1x^1 + 0x^0
+ 1x^3 + 1x^2 + 0x^1
--------------------------
= 1x^3 + 2x^2 + 1x^1 + 0x^0 = x^3 + 2x^2 + x

通过将多项式分解成它的项

如果我们有一个多项式 P(x)

P(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{i}x^{i}+...a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\

唯一可能的有理根（形如 p/q 的根）是形如

{\frac {p}{q}}={\frac {{\mbox{factor}}\ {\mbox{of}}\ a_{0}}{{\mbox{factor}}\ {\mbox{of}}\ a_{n}}}

（也称为有理根定理或RRT）

二项式

二项式是两个单项式的和或差。它们也可以称为多项式，但为了更具体，这些是二项式。

例子

2x + 2

2y - 7

如何分解因式

要分解二项式，找到各项之间的最大公因数，并将其分解出来。

例子

4x + 2

这两项之间的最大公因数是 2，因为这两项都可以被 2 整除，并且系数和常数仍然是整数。分解后的例子将变成

2(2x+1)

外部链接

在线交互式多项式练习.