代数

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公式

计算多项式的因子需要了解不同的公式，并且需要一些经验才能找出应该应用哪一个公式。下面，我们给出一些重要的公式

${x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$

${x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}}$

${x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}}$

${x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}$

${x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)}$

例子

: ${a^{2}+ab}$ 
: ${a(a+b)}$

${x^{2}+3x+2}$
${x^{2}+y^{2}=2xy}$
${x(x+1)+2(x+1)}$
${(x+1)(x+2)}$

: ${a^{2}-4x^{2}}$ 
: ${(a^{2}-2ax)+(2ax-4x^{2})}$ 
: ${a(a-2x)+2x(a-2x)}$ 
: ${(a-2x)(a+2x)}$

${x^{3}+8y^{3}}$
${(x^{3}-2x^{2}y+4xy^{2})+(2x^{2}y-4xy^{2}+8y^{3})}$
${x(x^{2}-2xy+4y^{2})+2y(x^{2}-2xy+4y^{2})}$
${(x^{2}-2xy+4y^{2})(x+2y)}$
${(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})}$

: ${x^{3}+2x^{2}-13x+10}$ 
: ${(x^{3}+4x^{2}-5x)-(2x^{2}+8x-10)}$ 
: ${x(x^{2}+4x-5)-2(x^{2}+4x-5)}$ 
: ${(x^{2}+4x-5)(x-2)}$ 
: ${(x-2)(x^{2}+4x-5)}$ 
: ${(x-2)[(x^{2}-x)+(5x-5)]}$ 
: ${(x-2)[x(x-1)+5(x-1)]}$ 
: ${(x-2)(x-1)(x+5)}$

${3x^{4}-3x^{3}-2x^{2}-x-1}$
${(3x^{4}-3x^{3}-3x^{2})+(x^{2}-x-1)}$
${3x^{2}(x^{2}-x-1)+1(x^{2}-x-1)}$
${(x^{2}-x-1)(3x^{2}+1)}$

: ${x^{4}+4}$ 
: ${(x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}}$ 
: ${(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}}$ 
: ${(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)}$

(定理名称)

写出系数，如果最后的结果等于零，那么它就是一个根

例如： ${9x^{2}-6x+9}$

${4r^{2}-12+9^{2}}$

可能的因数

为了分解，我们首先要寻找可能的因数。可能的因数是任何可能成为因数的数字。一旦我们有了可能的因数，我们就把这个数字除以我们要分解的数字。如果它们能被整除，那么我们就找到了一个因数！这个因数就是我们找到的可能的因数，而除法问题的结果就是另一个因数。举个例子。假设我们要分解的数字是 20。2 是可能的因数。20 / 2 = 10。它们能被整除，这意味着我们找到了一个因数。因数是 2（可能的因数）和 10（除法问题的结果）。现在我们已经找到了一个因数，我们可以用一个新的可能的因数重新开始，找出所有的因数。

例子

分解 12

首先找到所有可能的因数

可能的因数是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 和 12

接下来我们将逐个尝试它们

12/1 = 12（1 和 12 是因数）

12/2 = 6（2 和 6 是因数）

12/3 = 4（3 和 4 是因数）

12/4 = 3（我们已经有了 3 和 4 作为因数）

一旦我们得到一个已经存在的因数，我们就知道了所有因数。

所以 12 的因数是 1、2、3、4、6 和 12。

分解 54

首先找到所有可能的因数

可能的因数是 {1、2、3 ... 52、53、54}

别担心，这并不像看起来那么难!

54/1 = 54（1 和 54 是因数）

54/2 = 27（2 和 27 是因数）

54/3 = 18（3 和 18 是因数）

54/4 = 13r2（4 不是因数）

54/5 = 10r4（5 不是因数）

54/6 = 9（6 和 9 是因数）

54/7 = 7r5（7 不是因数）

54/8 = 6r6（8 不是因数）

54/9 = 6（我们已经有了 9 和 6 作为因数）

所以 54 的因数是 1、2、3、6、9、18、27 和 54

分解 180

首先找到所有可能的因数

可能的因数是 {1、2、3 ... 178、179、180}

别担心，这并不像看起来那么难!

180/1 = 180（1 和 180 是因数）

180/2 = 90（2 和 90 是因数）

180/3 = 60（3 和 60 是因数）

180/4 = 45（4 和 45 是因数）

180/5 = 36（5 和 36 是因数）

180/6 = 30（6 和 30 是因数）

180/7 = 25r5（7 不是因数）

180/8 = 22r4（8 不是因数）

180/9 = 20（9 和 20 是因数）

180/10 = 18（10 和 18 是因数）

180/11 = 16r4（11 不是因数）

180/12 = 15（12 和 15 是因数）

180/13 = 13r11（13 不是因数）

180/14 = 12r12（14 不是因数）

180/15 = 12（我们已经有了 15 和 12 作为因数）

所以 180 的因数是 1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90 和 180。

多项式除法

因式分解的过程需要进行多项式除法。这种除法与长除法非常类似，被称为*综合除法*。

考虑多项式 x³ - 21x² + 143x - 315。在这种情况下，确定因式可能需要试错（直到你学习了其他技术），当你这样做时，你需要用发现的因式来除多项式。

在这个例子中，我们将用 (x-5) 除。完整的除法从这里开始

1x -5 | 1x^3  -21x^2 +143x - 315

与长除法一样，你需要找到用于减法的数字并将其放在顶部 - 在这种情况下，你需要确保最左边的项变为零。接下来，将新添加的顶端项乘以左侧以获得要减去的量，并进行减法。

                1x^2
1x -5 | 1x^3  -21x^2 +143x - 315
        1x^3   -5x^2
        ------------
              -16x^2 +143x - 315

重复此操作，直到除法完成

                1x^2  -16x + 63
1x -5 | 1x^3  -21x^2 +143x - 315
        1x^3   -5x^2
        ------------
              -16x^2 +143x - 315
              -16x^2 + 80x
              -------------
                       63x - 315
                       63x - 315
                       ---------
                               0

（如果此时存在余数，则将其作为分子放在被分解出的项之上。）

有些人可能会发现写下 x³ 和其他变量很麻烦 - 如果在纸上写，它们可以作为简写省略。

           1  -16 + 63
1 -5 | 1 -21 +143 - 315
       1  -5
       -----
         -16 +143 - 315
         -16 + 80
         ---------
               63 - 315
               63 - 315
               --------
                      0

在这种情况下，因式分解很简单，因为你可以很容易地确定下一步除法中要使用的数字。

另请参阅

多项式因式分解 - 使用示例