代数/二次方程

代数

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推导

一般形式的二次函数 $ax^{2}+bx+c=0$ 的解可以用一个简单的方程表示，叫做二次方程。为了解这个方程，请回忆上一节中推导的二次方程的完全平方形式

y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}

在这种情况下， $y=0$ ，因为我们正在寻找这个函数的根。为了解决，首先减去 c 并除以 a

\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}

对两边开方（正负）

x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}

从两边减去 ${\frac {b}{2a}}$

x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}

这是解，但它形式不方便。让我们对根号内的分母进行有理化

{\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2|a|}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}

现在，将分数相加，二次公式的最终版本是

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

这个公式非常有用，建议学生尽快记住它。

根号下的部分， ${b^{2}-4ac}$ ，称为判别式， $\Delta$ 。判别式的值告诉我们关于根的一些有用信息。