代数/配方

代数

推导

"配方"的目的是将一个素二次方程进行因式分解，或者更方便地绘制抛物线图。对于一个二次方程，遵循以下步骤$y=ax^{2}+bx+c$

1. 将等式两边都除以a，使$x^{2}$前面的系数是一个完全平方（1）

${\frac {y}{a}}=x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}$

2. 现在我们要关注x前面的项。在等式两边都加上$\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

${\frac {y}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}$

3. 现在注意到右侧的前三项可以分解成一个完全平方

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

将这个式子重新展开，以验证它是否有效。

4. 因此，二次方程的配方形式为

${\frac {y}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}$ 或者，等式两边都乘以a，

$y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

推导解释

配方

1. 将等式两边都除以a，使$x^{2}$前面的系数是一个完全平方（1）

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}={a}$

将最终结果表示为一个平方 x，如果初始方程是

2. 现在我们要关注x前面的项。在等式两边都加上$\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

${\frac {y}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}$

3. 现在注意到右侧的前三项可以分解成一个完全平方

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

将这个式子重新展开，以验证它是否有效。

4. 因此，二次方程的配方形式为

${\frac {y}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}$ 或者，等式两边都乘以a，

例子

学习配方的最好方法是通过一个例子。假设你要解下面的方程，求 x。

2x2 + 24x + 23 = 0	不能轻易进行因式分解，所以我们进行配方。
x2 + 12x + 23/2 = 0	将 x2 的系数变为 1，方法是将所有项都除以 2。
x2 + 12x = - 23/2	在等式两边都加上 - 23/2。
x2 + 12x + 36 = - 23/2 + 36	取 12（x 的系数）的一半，然后平方。将其加到等式两边。
(x + 6)2 = 49/2	进行因式分解。现在我们可以开方，很容易地解出这种形式的方程。
√(x + 6)2 = √49/√2	开方。
x + 6 = 7/√2	化简。
x = -6 + (7√2)/2	将分母有理化。