代数/解方程

代数

二次方程

到目前为止，您只处理了只包含 x 的方程式和表达式；在本节中，我们将继续解决包含 $x^{2}$ 的项。

所有二次方程都可以排列成 $ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$ 的形式，其中 *a*、*b*、*c* 都是常数。现在让我们看一些例子

例子： 将以下方程改写成 $ax^{2}+bx+c=0\qquad$ 的形式

$(1)\qquad x(x-3)=3-5x;\qquad$

(1) 的解：

$x^{2}-3x=3-5x\qquad$

$x^{2}+2x=3\qquad$

$x^{2}+2x-3=0\qquad$

注意，在第一步中，您将方程左侧的 x 分配。第二步是通过在方程的两边都加上 5x 并随后在方程的两边都减去 3 来得到的。

$(2)\qquad 2x+1=(x^{2}+2){\sqrt {3}}$

(2) 的解：

${\begin{matrix}2x+1&=&x^{2}{\sqrt {3}}+2{\sqrt {3}}\\-x^{2}{\sqrt {3}}+2x+1-2{\sqrt {3}}&=&0\\x^{2}{\sqrt {3}}-2x-1+2{\sqrt {3}}&=&0\end{matrix}}$

注意，在最后一步中，两边都乘以 -1，使项 $-x^{2}{\sqrt {3}}$ 为正数，以便更容易求解方程。

因式分解

因式分解是解二次方程最常用的方法。让我们再次考虑上面第一个例子：$x(x-3)=3-5x$ 我们已经将方程简化为

$x^{2}+2x-3=0$

现在，我们想要分解这个方程——也就是说，把它转换成如下形式

$(x+''{\text{something}}'')(x+''{\text{something else}}'')=0$

观察数字项 c。在这个例子中，它是 -3。现在，如果我们幸运的话，数字“某物”和“其他某物”将是好的整数，所以让我们考虑两个相乘后得到 -3 的数字。要么是 3 和 -1，要么是 -3 和 1。但我们还需要使 x 项正确（这里，b=2）。实际上，我们需要 c 的两个因数加起来得到 b。并且 (3) + (-1) = 2。所以，我们找到了我们的“某物”：它们是 3 和 -1。让我们把它们填进去。

$(x+3)(x-1)=0$

为了检查，我们可以将括号展开，以检查我们是否得到了最初的式子。

${\begin{matrix}(x+3)(x-1)=0\\x^{2}+3x-1x-3=0\\x^{2}+2x-3=0\end{matrix}}$

现在，我们知道在一个等式中，左侧总是等于右侧。在这种情况下，等式的右侧为 0，因此我们可以得出结论，项 $(x+3)(x-1)$ 也必须等于零。这意味着要么 $(x+3)$ 或 $(x-1)$ 必须等于零。（不相信吗？记住 (x+3) 和 (x-1) 只是数字。你能找到两个非零数字相乘得到零吗？）

让我们用代数方式写出来。

${\begin{matrix}x^{2}+2x-3=0\\x+3=0\qquad {\mbox{or}}\qquad x-1=0\\x=-3\qquad {\mbox{or}}\qquad x=1\end{matrix}}$

因此，同一个等式有两个不同的解！对于所有二次方程都是如此。我们说这个二次方程有两个不同的实根。

随着练习，你通常能够立即写出因式分解形式的等式。以下是一个例子，在这种情况下，x 可以轻松地因式分解出来。

${\begin{matrix}2x^{2}&=9x\\2x^{2}-9x&=0\\x(2x-9)&=0\\x=0&\qquad {\mbox{or}}\qquad x={\frac {9}{2}}\end{matrix}}$

配方

有时二次方程的根（解）无法通过因式分解轻松得到。在这种情况下，我们必须通过配方或使用二次公式（见下文）来解方程。

为了配方，我们需要将给定的方程改写为 $(x+a)^{2}=b$ 形式。以下是一个例子。

${\begin{matrix}x^{2}+8x+9&=&0\\x^{2}+8x&=&-9\\x^{2}+8x+4^{2}&=&4^{2}-9\\(x+4)^{2}&=&7\\&x+4={\sqrt {7}}&\quad {\mbox{or}}\quad x+4=-{\sqrt {7}}\\&x=-4+{\sqrt {7}}&\quad {\mbox{or}}\quad x=-4-{\sqrt {7}}\\&x=-1.35&\quad {\mbox{or}}\quad x=-6.65\end{matrix}}$

一般来说，我们可以得到

$x^{2}+kx+\left({k \over 2}\right)^{2}=\left(x+{k \over 2}\right)^{2}$

注意，当我们进行到方程式两边开根号时，左侧可能为负数。在这种情况下，根将为复数。如果您尚未学习复数，则可以简单地说方程式“没有实数根”。

一元二次方程求根公式

一元二次方程求根公式是对配方求解的特殊推广，通过简单的代入即可得到一元二次方程的两个根。它可以用来求解任何一元二次方程，并且在计算器上操作起来非常快。

$ax^{2}+bx=-c\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}$

配方求解

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {-c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

简化

等于 4y 的 19 次方。

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {-c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {-c}{a}}}}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {-4ac}{4a^{2}}}}}$

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

这是二次方程公式的所需形式。

因此，假设二次方程的形式为 $ax^{2}+bx+c=0$，则这两个根为

$x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}$

方程中的量 ${b^{2}-4ac}$，被称为判别式，是解的解性和性质的指示

• 判别式为正——在R上可解，实根
• 判别式为零——在R上可解，重复的实根（单根）
• 判别式为负——在R上不可解（但在C上可解），没有实根

韦达定理

如果二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$ 有两个实根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，那么

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}&=&-{\cfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}&=&{\cfrac {c}{a}}\end{matrix}}\right.$

这是因为 $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 以及 $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$。通过简单地将这两个根相加或相乘，我们将得到上述两个等式。这就是韦达定理。

利用韦达定理，我们可以不求解方程，就能找到给定二次方程的另一个根。

例：已知方程 $4x^{2}-13x+10=0$ 的一个实根是 2，求另一个根，不用求解方程。

解

${\begin{matrix}x_{1}\cdot x_{2}&=&{\cfrac {c}{a}}\\\Rightarrow x_{1}\cdot 2&=&{\cfrac {10}{4}}\\x_{1}&=&{\cfrac {5}{4}}\end{matrix}}$

我们也可以通过应用以下规则来确定两个根的符号

1. 如果$\Delta \geq 0,\ {\frac {c}{a}}>0,\ {\mbox{and}}\ {\frac {b}{a}}<0$，则方程有两个正根；
2. 如果$\Delta \geq 0,\ {\frac {c}{a}}>0,\ {\mbox{and}}\ {\frac {b}{a}}>0$，则方程有两个负根；
3. 如果$\ {\frac {c}{a}}<0$，则方程有两个符号不同的根

($\Delta$ 表示方程的判别式）

另一个涉及韦达定理的问题

示例： 对于方程 $2x^{2}+ax+1=0$，已知根的平方和为$7{\frac {1}{4}}$，求$a$的值。

解

${\begin{matrix}(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\\\left(-{\cfrac {a}{2}}\right)^{2}-2\cdot {\cfrac {1}{2}}&=&7{\cfrac {1}{4}}\\{\cfrac {a^{2}}{4}}&=&8{\cfrac {1}{4}}\\a^{2}&=&33\\a&=&\pm {\sqrt {33}}\end{matrix}}$

勾股定理 ____________________

a^+b^=c^

联立一次方程和非线性方程

在之前的章节中，你已经学习了如何解联立一次方程组。现在我们将学习如何用两个未知数解联立一次方程和非线性方程组。这通常使用**代入法**。

**示例：**解以下联立方程组

$\left\{{\begin{matrix}2x^{2}+y^{2}-5xy&=8&{\mbox{------ (1)}}\\y-x&=2&{\mbox{------ (2)}}\end{matrix}}\right.$

解

${\begin{matrix}{\mbox{Rearrange (2):}}&y=x+2&{\mbox{------ (3)}}\\{\mbox{Substitute(3) into (1):}}&2x^{2}+(x+2)^{2}-5x(x+2)=8\\&2x^{2}+x^{2}+4x+4-5x^{2}-10x-8=0\\&x^{2}+3x+2=0\\&(x+2)(x+1)=0\\&x=-2\quad {\mbox{or}}\quad -1\\{\mbox{Substitute x=-2 back into (3):}}&y=-2+2=0\\{\mbox{Substitute x=-1 back into (3):}}&y=-1+2=1\end{matrix}}$

∴ x=-1 且 y=1，或 x=-2 且 y=0。