代数/复数

另见: 高中数学扩展, 复数, 维基百科上的复数

代数

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复数 是实数的扩展，即数轴扩展到数平面。它们允许我们将平面几何的规则转化为算术。复数在描述亚原子尺度上宇宙定律方面具有基本意义，包括光传播和量子力学。它们在许多领域也具有实际应用，包括信号处理和电气工程。

简介

目前，我们能够求解许多不同类型的关于 $x$ 的方程，例如 $x+7=12$ 或 $3x=4$ 或 $x+10=0$ 。在每种情况下，$x$ 的解都是实数：分别为 5, 4/3 和 -10。

然而，不存在任何满足方程 $x^{2}=-1$ 的实数 x，因为任何实数的平方都是非负的。

从概念上讲，拥有某种能够作为 $x^{2}=-1$ 解的数将是很好的。然而，这个“数”将不是实数，我们称这样的数为虚数。

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现在，这真的是原因吗？

嗯，绝对不是！

这个错误发生在许多教科书中，这是由于试图“强行解决问题”，正如我们可以在心理学上解释的那样。这与现实无关，并给人们一种错误的感觉，即数学家是“怪人”，他们有太多空闲时间，无所事事。

原因，让你惊讶的是，与一个被称为三次函数的问题有关。

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然后，我们将实数系统扩展以容纳这个特殊数字。事实证明，方程 $x^{2}=-1$ 有两个虚数解。其中一个将被称为 $i$，根据算术的正常规则，另一个解是 $-i$。我们可能会倾向于说 ${\sqrt {-1}}=i$。然而，这将是不正确的，仅仅是因为用文字来说，这意味着“-1 的平方根是 $i$”，但没有理由偏爱 $i$ 而不是 $-i$（反之亦然）作为 -1 的平方根。相反，这两个平方根具有同等地位。

我们说所有形式为 a +b$i$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是任何实数，是复数的集合，我们用 $\mathbb {C}$ 表示这个集合。实数 $\mathbb {R}$ 可以被认为是复数的子集 $\mathbb {C} =\{a+bi\}$，其中 b = 0。复数可以相加、相减、相乘和相除（除了除以 0）。我们将在后面探讨这些数字的一些属性。

实际上，复数有两种常用的定义，但它们在逻辑上是等价的。

对于像 ${\sqrt {-4}}$ 这样的负根，我们将数字分成两部分，其中一部分是 ${\sqrt {-1}}$，就像 ${\sqrt {-4}}={\sqrt {4(-1)}}={\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {-1}}$，这导致了 $2i$

定义 1

复数是一个形式为 x + yi 的表达式，其中 x 和 y 是实数，i 是一个新数，称为虚数单位，对于这些表达式，正常的计算规则与附加规则一起适用：i²=-1。

定义 2

复数是一个实数对 (x,y)，满足以下性质

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

在两种情况下，复数都由两个实数*x*和*y*组成。实数*x*称为复数的**实部**，实数*y*称为复数的**虚部**。

从这些性质可以推断出，形式为(x,0)的复数的行为就像实数一样，因此我们将(1,0)与1等同，从而将(x,0)与x等同。此外，我们看到

$(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$ .

通常用*i*代替(0,1)，所以

$i=(0,1)$ 和 $i^{2}=-1$ 。

现在任何复数*（x,y）*都可以写成*x + yi*。

一些例子

一个*复数*是指形如$z=a+bi$的数，其中*a*和*b*是实数。我们说*a*是z的*实部*，并写成${\rm {Re}}(z)$，并说*b*是z的*虚部*，并写成${\rm {Im}}(z)$

形如*bi*的数有时称为*纯虚数*，因为它没有实部。纯虚数也是复数，因为*bi* = 0 + *bi*。同样，所有实数也是复数，因为*a* = *a* + 0i。因此，复数集包括实数、纯虚数以及实数和纯虚数的和。

以下是一些例子

• 1 + 4i：复数，实部为1，虚部为4
• 2 - 2i：复数，实部为2，虚部为-2。
• -4i：复数，实部为0，虚部为-4
• 2：复数（也是实数），实部为2，虚部为0。

请注意，数字2既是复数又是实数。如果我们写成2 = 2 + 0i，这个事实就更清楚了。

任何复数都可以用三种主要形式表示，我们将在后面进行探讨。形式*x* + *yi*被称为*笛卡尔*形式。

复数和矩阵

复数可以与一组特定的*矩阵*等同。如果我们将2×2单位矩阵视为数字1，并将我们上面介绍的$i$视为矩阵

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$,

那么复数$a+bi$的形式为

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$.

性质

复数满足大多数实数的性质。取两个复数，$z_{1}=a+bi\,$ 和 $z_{2}=c+di\,$.

加法

我们如何将这两个复数加起来？

我们甚至不必把 $i$ 视为“特殊”的，只需将其视为任何其他符号，并按照代数的标准规则进行操作，在此过程中进行分组。

我们得到

$z_{1}+z_{2}=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,$

如果使用上面的矩阵类比，则常规矩阵加法以相同的方式添加复数。自行验证这是否属实。

减法

减法与以前相同。

$z_{1}-z_{2}=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\,$

乘法

根据正常规则，考虑到 $i^{2}=-1\,$，我们发现

$z_{1}z_{2}=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i\,$

如果使用上面的矩阵类比，则常规矩阵乘法以相同的方式乘以复数。自行验证这是否属实。

共轭

复数 $z$ 的共轭，记为 ${\bar {z}}$，是指将虚部的符号改变后的相同数字：a + bi 的共轭为 a - bi（反之亦然）。

让我们考察一下当我们有一个复数 z = a + bi 时，z 与其共轭的乘积是什么？

(a+bi)(a-bi) = a² + abi - abi - b²i² = a² + b²

注意虚部抵消了，因此乘积是一个实数。这将极大地帮助我们进行复数除法，正如我们所见。

还要注意，这与两个平方的和类似，类似于两个平方的差。

如果使用矩阵类比，则矩阵转置与共轭具有相同的行为。

除法

我们如何计算商

${\frac {a+bi}{c+di}}$

两个复数的？并不难。设商为

${\frac {a+bi}{c+di}}=r+si$,

然后交叉相乘得到

$\,a+bi=(r+si)(c+di)=rc-sd+i(rd+sc)$,

因此

$\,a=rc-sd$,

和

$\,b=rd+sc$.

所以我们需要解两个线性方程组。解为

$r={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}$,

和

$s={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}$.

注意，除非 $c^{2}+d^{2}\neq 0$，否则这些结果毫无意义。事实上，很容易看出这对线性方程只有在上述条件成立时才会有解，即 c 和 d 不都为零。换句话说，当 $c+di\neq 0$ 作为复数时。因此，我们只能在复数不为零时对其进行除法。

幸运的是，有一个小技巧可以加快计算速度。我们可以用一个精心挑选的数字乘以分母，使其变为实数。我们通过乘以分母的共轭来“实化分母”；复数乘以其共轭是一个实数

$\,(c+di)(c-di)=c^{2}-(di)^{2}=c^{2}+d^{2}$.

因此

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {a+bi}{c+di}}\cdot {\frac {c-di}{c-di}}={\frac {ac-adi+bci+bd}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i$.

注意，在复数的乘法和除法中，我们通常会计算整个问题，而不是仅仅记住答案的公式。读者会注意到，这里我们使用了代数中熟悉的技巧，即用一个特定的、方便的形式乘以数字 1：${\frac {c-di}{c-di}}$。（我们留给读者验证任何非零复数除以自身实际上都等于 1。）

指数和根

因为 $x^{y}=e^{ln{x}\times y}=1+{\frac {ln{x}\times y}{1!}}+{\frac {(ln{x}\times y)^{2}}{2!}}+{\frac {(ln{x}\times y)^{3}}{3!}}+...$, 实数可以被提升到虚数。虚数和复数不能被提升到虚数或复数，因为虚数和复数没有自然对数。例如
$e^{i}=0.5403023058681397+0.8414709848078965i$
因为 ${\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}$, 虚数可以是根的次数。

问题集

根据以上规则，回答以下问题。

注意：使用 sqrt(x) 代表 ${\sqrt {x}}$

1

(7 + 2i) + (11 - 6i) = + i

2

(8 - 3i) - (6i) = + i

3

(9 + 4i)(3 - 16i) = + i

4

3i $\times$ 9i = + i

5

${\frac {i}{2+i}}=$ + i

6

${\frac {11+3i}{{\sqrt {3}}-4i}}=$ + i

7

${(x+yi)}^{-1}=$ + i

阿根图平面

我们也可以几何表示复数。每个复数都可以表示为 z=x+iy 的形式（因此 x=Re(z) 且 y=Im(z)）。然后我们可以用 xy 平面上（x,y）点来表示 z。注意，这是一个一对一的关系：对于每个复数，我们在平面上都有一个对应的点，而对于平面上每个点，则对应着一个复数。当我们用这种方式使用 xy 平面来表示复数时，我们称该平面为“阿根图平面”。我们将“y”轴称为虚轴，“x”轴称为实轴。

注意，纯虚数在阿根图平面上由虚轴上的一个点表示。纯实数由实轴上的一个点表示。

以下是一个阿根图平面的示例。

平面上绘制了两个复数；即，1 + i，-2 - i。它们的和在图上绘制出来，为 -1。红色和蓝色线显示了如何在几何上构建平行四边形，它们的顶点形成它们的和。

模和幅角

在这个图中，我们可以看到数字 3 + 4i。红色线是距原点（数字 0 + 0i）的距离。灰色线表示距各自轴的距离。我们可以看到红色线从实轴形成了一个角度 θ。

很明显，几乎所有复数都具有远离原点的距离，而且几乎所有复数都相对于实轴形成一个角度。我们给这两个量赋予了特殊的名称；远离原点的距离称为复数的模，角度 θ 称为复数的幅角。

我们用 |z| 表示复数 z 的模，用 arg z 表示复数的幅角。

我们可以通过基本三角学来计算模和幅角。

计算模

在上面的例子中，我们有数字 3 + 4i。我们可以用底为 3 和高为 4 在阿根图平面上形成一个三角形。根据勾股定理，我们可以通过 ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5$ 找到斜边的长度。

因此，斜边的长度就是复数的模，对于 3+4i 来说，模是 5。

推广

如果z = x + yi，|z| 很明显是 ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$。

等效地，$|z|={\sqrt {\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}}}$。

计算幅角

我们有与计算模数相同的三角形。从三角学中，我们知道 tan θ 是高除以底的比值。所以对于 3 + 4i，我们有 tan θ = 4/3，因此 θ = arctan 4/3 = 0.9…

对于复数，我们总是要考虑两点

• 幅角必须用弧度表示
• 幅角位于区间 [-π,π] 内，我们总是调整角度使其满足此条件。

注意 arg 0 未定义。

推广

如果z = x + yi，arg z 很明显是 arctan (y/x)，或者等效地，arg z = arctan (Im(z)/Re(z))。

极坐标形式

我们现在能够计算复数的模数和幅角，这两个数字能够唯一地描述 Argand 平面上的每一个数。

利用复数的这两个特性，我们现在可以找到一种新的复数表示方法。

注意在上面的图中，我们得到一个三角形，它描述了复数 3 + 4i。很明显，我们可以对 Argand 平面上的所有复数（0 除外）执行此操作。

为了简化我们的工作，让我们看一下单位圆上的点，这些点与 0 等距。从三角学中，我们可以用 (cos θ, sin θ) 参数化笛卡尔平面上的圆上所有点。在复数表示法中，我们可以说这个单位圆上的所有数都是 cos θ+i sin θ 的形式。

这在单位圆上很有效，但如何将其推广到描述平面上的所有数呢？我们只需放大或缩小圆圈以包含这个数；这可以通过乘以模数来实现。

因此，我们得到极坐标形式r(cos θ + i sin θ) = z，其中r 是模数。

欧拉公式

复数领域中一个非常重要的结果是欧拉公式。它本质上断言

re^iθ = r (cos θ + i sin θ)

这个说法可以通过重新排列泰勒级数中的余弦和正弦函数来验证。

注意共轭复数具有相反的幅角。2e²ⁱ 和 2e^-2i 是共轭对。

证明

使用泰勒级数

下面是使用泰勒级数展开式以及关于i 的幂的基本事实来证明欧拉公式。

$i^{0}=1,\ i^{1}=i,\ i^{2}=-1,\ i^{3}=-i,\ i^{4}=1,\ i^{5}=i,\ i^{6}=-1,\ i^{7}=-i,\ i^{8}=1,\dots$

函数e^x、cos(x) 和 sin(x)（假设x 为实数）可以写成

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

对于复数z，我们定义每个函数为上述级数，将x 替换为iz。这是可能的，因为每个级数的收敛半径是无穷大的。然后我们发现

$e^{iz}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots$

$=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots$

$=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)$

$=\cos(z)+i\sin(z)\,$

由于每个级数都是绝对收敛的，因此重新排列项是合理的。取 *z* = *x* 为实数，得到欧拉最初发现的恒等式。$\square$

使用微积分

定义复数 *z* 使得

$z=\cos x+i\sin x\,$

对 *z* 关于 *x* 求导

${\frac {dz}{dx}}=-\sin x+i\cos x$

使用 *i*² = -1 的事实

${\frac {dz}{dx}}=i^{2}\sin x+i\cos x=i(\cos x+i\sin x)=zi$

分离变量并对两边积分

$\int {\frac {1}{z}}\,dz=\int i\,dx$

$\ln z=xi+C\,$

其中 C 是积分常数。为了完成证明，我们必须证明它是零。这可以通过将 x 替换为 0 来轻松完成。

$\ln z=C\,$

但 z 仅等于

$\ z=\cos x+i\sin x=\cos 0+i\sin 0=1\,$

因此

$\ln 1=C\,$

$\ C=0\,$

所以我们现在只需进行指数运算

$\ \ln z=xi\,$

$\ e^{\ln z}=e^{xi}\,$

$\ z=e^{xi}\,$

$\ e^{xi}=\cos x+i\sin x\,\square$

推论

欧拉定理有许多重要的推论结果。

棣莫弗定理

棣莫弗定理在计算复数的幂时很有用。它指出

(r (cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ ( cos nθ + i sin nθ)

如果我们将定理改写为以下形式，则该结果很明显（由指数定律得出）：

(re^iθ)ⁿ=rⁿe^inθ

等效三角形式

根据复数的余弦/正弦形式，我们可以用指数形式重写余弦和正弦函数。

cos θ = 1/2 (e^iθ + e^-iθ)

sin θ = 1/(2i) (e^iθ - e^-iθ)

e，$\pi$，i，1 和 0 的关系

将 π 代入公式，我们得到以下结果：

$e^{\pi i}+1=0$

这个等式在数学上的实际意义并不大。它更因其与许多数学分支之间的关系而闻名：e 来自微积分，π 来自几何学，i 来自代数，1 是乘法恒等式，0 是加法恒等式。它还以其简单的数学美学而闻名。

形成三角恒等式

前面提到的等效三角形式与二项式定理结合在一起，使我们能够创建一些难以用其他方式形成的三角恒等式。这些恒等式可用于简化积分问题。

余弦/正弦幂

我们如何简化，比如 (cos x)⁵？

让我们来看一个简单的例子来进行激励。首先，改写为

(cos x)⁵ = (1/2 (e^ix+e^-ix))⁵ =

1/2⁵ (e^ix+e^-ix)⁵

根据二项式定理，

(a+b)⁵=a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

用 e^ix/2 替换 a，用 e^-ix/2 替换 b，我们得到

10e^-ix/32+10e^ix/32+5e^3ix/32+5e^-3ix/32+e^5ix/32+e^-5ix/32=

(5/16)(e^-ix+e^ix)+(5/32)(e^3ix+e^-3ix)+(1/32)(e^5ix+e^-5ix)=

(5/16)(2 cos x)+(5/32)(2 cos 3x)+(1/32)(2 cos 5x)=

(5/8) cos x+(5/16) cos 3x+(1/16) cos 5x=(cos x)⁵

步骤

我们可以从上面的例子中总结出一般的步骤：要简化形式为

• cos(x)^k
• sin(x)^k

的表达式，步骤如下：

• 将 cos(x) 或 sin(x) 写成指数形式，全部取 k 次幂
• 使用二项式定理展开
• 收集共轭对
• 将指数形式写回三角形式

余弦/正弦倍数

我们还可以形成以下形式的恒等式：

• cos(kx)
• sin(kx).

让我们看另一个例子来了解它是如何完成的。

示例

让我们展开 sin(3x)。

回顾一下棣莫弗定理，它指出

(cos(x)+i sin(x))³ = cos(3x)+i sin (3x)

我们将使用这个事实来展开左侧。为了便于操作，可以令c = cos(x)，s=sin(x)。然后再次使用二项式定理展开

(c+is)³=c³ + 3i c²s - 3cs² - i s³

收集实部和虚部

(c+is)³=c³ - 3cs² + i(3c²s - s³)

现在，这当然等于 cos(3x)+i sin (3x)。所以，将 cos(x) 代回 c，sin(x) 同理，我们可以将实部和虚部等同起来，得到

sin(3x)=3 cos(x)²sin(x) - sin(x)³

我们得到

cos(3x)=cos(x)³ - 3 cos(x)sin(x)²

免费的。

注意：在余弦展开中，可以将 sin(x)² 写成 1-cos(x)² 以获得一个完全由余弦组成的公式。（类似地，可以使用仅包含正弦的公式来写正弦展开）

外部链接

• 在线交互式练习 关于复数。

这还不完整，是一个草稿，将添加更多信息。