代数/第 0 章/什么是数学？
0.1: 什么是数学？
在全世界学校教授的所有科目中，数学可能是最令人生畏和厌恶的一门学科。
那么，我们先从什么是数学开始吧。是什么让数学与其他学科，例如语言或历史，如此不同？更重要的是，你为什么需要了解任何关于数学的知识呢？
数学是一个如此广泛而庞大的研究领域。要定义它非常困难。
数学是对模式的研究——寻找模式并解释为什么存在这样的模式。模式无处不在：形状（这个的面积是多少？那个的体积是多少？）、计数（有多少种方法可以做到这一点？有多少个是那个？）等等。
一个特别有趣的模式类别是数字的模式。例如，整数看起来很简单，但实际上并非如此：1、2、3……每个人都知道它们是什么，每个人都熟悉它们的加法和乘法。但其中隐藏着微妙而深刻的模式。例如，我们可以看看当我们反复加 2 时形成的数字。2、4、6、8……我们可以看看当我们反复加 3 时形成的数字：3、6、9、12……很容易看出每个数字都至少落在这些序列中的一个序列中，但它落在几个序列中，以及哪些序列中呢？例如，12 在序列 2、4、6、8、10、12……中；3、6、9、12……；4、8、12……；6、12……；以及 12……中。哪些数字只落在一个序列中？这些数字有一个特殊的名称，素数，因为它们只能被 1 和它们本身整除。寻找素数是一个极其棘手的问题，并构成了保护您在互联网上隐私的机制。前几个素数是 2、3、5、7、11、13、17、19、23 和 29。 有多少个素数呢？ 3 和 5 相差 2，5 和 7 也一样，11 和 13，以及 17 和 19。 有多少对这样的素数呢？
关于这些简单序列，我们可以提出各种问题，其中一些问题会导致关于数字结构的非常深刻的陈述。
但是为什么会有这样的模式呢？为什么必须有无限多个素数呢？我们可以想象这个数字流只是停止了，也许在数十亿甚至上百亿个素数之后，也许有太多素数，人们将永远无法计算出它们——但为什么这不可能呢？为什么如果你想象那样，那么如果你非常有想象力，你会发现这很荒谬呢？
提出关于纯模式的问题是数学，回答为什么必须那样也是数学。
数学是一种提出猜想和定理的艺术——关于模式的猜测。它涉及解释诸如素数之类的模式（有多少个素数？）。有太多猜想和定理，尤其是在几何学中。
猜想和定理在数学中很重要。它们说明了什么可以做到，什么做不到。这些都是发现，由那些观察模式并找到关于这些模式的规则的人发现的。例如，当我们乘以 2 时形成的数字被称为偶数。关于它们有特殊的规则。例如，如果你把两个偶数加在一起，你会得到另一个偶数。这就是所谓的定理。它是一个关于模式的发现。
数学是对逻辑的研究——证明猜想。它涉及说明为什么猜想和定理是正确的。
这在几何学中很重要。事实上，许多数学家想要证明很多事情，甚至直到今天。关于模式，还有许多猜想尚未得到证明。
现在，你为什么想知道关于数学的知识呢？很简单。因为它很有趣，因为它很有意思。
要为像数学这样广泛的学科给出确切的定义并不容易。它不仅仅是数字的研究，而是利用我们所知道的知识，认识到模式，并将所有这些知识组织成我们可以用它来工作和理解的东西。在数学的历史上，人们已经用多种方法来组织数字，现在最常见的方法是十进制系统，但即使在今天，我们仍然使用其他几种方法。当人类还只是游牧民族时，他们不需要数字，氏族中的人数很少，他们唯一要担心的是食物和日常生活。随着我们开始定居下来，建立营地、城镇，最终建立城市和帝国，我们需要新的方法来谈论数字。羊群里有几只羊？部落里有几个人？到下一个城镇有多远？所有这些都是我们需要数字来进行沟通并理解他人所说的话的事情。我们用数字和数量来描述无数事物以理解它们的含义。
数学的很大一部分是发现。在我们定义了数字以及我们如何测量长度之后，数学无处不在，只等着被揭示。矩形的面积始终是长度乘以宽度 ()，但直到我们有了数字来定义我们的长度和宽度，它才无法被发现。体积、素数和倍数都是数学的一部分，它们只是在等待被发现。现在发现的东西要复杂得多，但它们仍然存在。
数学研究常常将我们带到一个无法继续前进的境地，这时就需要一点发明创造。虚数就是一个例子，你将在本书后面的章节中学习到它们。为了使数学运算有效，我们需要创造出虚数。虚数在现实世界中并不存在，但它们必须存在才能解释我们物理世界中发生的一些现象。我们发明了它们，以便使数学能够以一种可以解释我们观察到的模式的方式起作用。
数学是我们将抽象思维应用于第一个领域。数字不同于字母；字母发出声音，当我们把它们组合在一起时，它们会组成一个代表名词、动词或其他词性的词。每个数字代表不同的数量，更令人困惑的是，两个 3 不会组成 6，而是 33。很容易看出你左手上的 3 根手指和右手上的 4 根手指加在一起是 7，这就是为什么你经常看到小学生用这种方式加减的原因。即使我们越来越习惯于加减运算，简单的加减运算，比如 1 到 9 之间的数字相加，通常是通过记忆来完成，而不是在脑海中想象 5 个东西和 8 个东西，我们记住了 8 + 5 = 13。为了让你更清楚地认识到数字是抽象的，请用词语来定义字母 B。现在尝试用不使用数字来定义数字 6。