代数拓扑/奇异同调

定义（标准 n-单纯形）:

标准 $n$-单纯形 是集合

$\Delta _{n}:=\left\{(t_{0},\ldots ,t_{n}){\big |}\forall 0\leq j\leq n:t_{j}\geq 0\wedge \sum _{j=0}^{n}t_{j}=1\right\}$.

定义（奇异链复形）:

令 $X$ 为拓扑空间。与 $X$ 相关的奇异链复形 是链复形 $C_{n}(X)$，其中它的第 $n$ 个群由所有连续函数 $\sigma :\Delta _{n}\to X$ 上的自由阿贝尔群给出，并且它的微分 $\partial :C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)$ 由以下公式的线性扩展给出

$\partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\sigma _{j}$，对于连续的 $\sigma :\Delta _{n}\to X$，

其中 $\sigma _{j}:\Delta _{n-1}\to X,\sigma _{j}(t_{0},\ldots ,t_{n-1}):=\sigma (t_{0},\ldots ,t_{j-1},0,t_{j},\ldots ,t_{n-1})$.