Darboux 方法是估计包含根的生成函数系数的一种方法。
它比奇点分析更容易,但它适用于更小的一组函数。
我们将使用“大O”符号。
当 
这意味着存在正实数
使得如果 

或者,我们可以说

对于正整数
,这意味着存在正实数
和正整数
使得
对于 
Wilf 证明的定理[1]。
如果我们有一个函数
其中
其中
的收敛半径大于
并在 1 附近有一个展开式
,那么
^{\beta }f(z)=\sum _{j=0}^{m}f_{j}{\frac {n^{-\beta -j-1}}{\Gamma (-\beta -j)}}+O(n^{-m-\beta -2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ebdc6be74262b8d77bdc7959a202c9dfe0a11e)
该定理有点抽象,所以我会在进行证明之前展示如何使用它的例子。
从 Wilf[2]中取一个例子。

是一个完全函数,因此它的收敛半径大于 1。
它可以在 1 附近使用泰勒级数展开。

因此,对于 
![{\displaystyle [z^{n}]{\frac {e^{-z/2-z^{2}/4}}{\sqrt {1-z}}}=e^{-3/4}{\frac {n^{-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}+O(n^{-{\frac {3}{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67929786694dc34d2b2587d973c308113bfea710)
或者,如果我们想要更高的精度,我们可以设置 
![{\displaystyle [z^{n}]{\frac {e^{-z/2-z^{2}/4}}{\sqrt {1-z}}}=e^{-3/4}{\frac {n^{-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}+e^{-3/4}{\frac {n^{-{\frac {3}{2}}}}{\Gamma (-{\frac {1}{2}})}}+O(n^{-{\frac {5}{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556f802bc6d6e34857e42ecd73d73e6ad493b35b)
等等。
Wilf 证明[3]。
我们有

并且

通过从最后一个求和中分解出 

因此

我们需要证明
![{\displaystyle [z^{n}]\sum _{j=0}^{m}f_{j}(1-z)^{\beta +j}=\sum _{j=0}^{m}f_{j}{\frac {n^{-\beta -j-1}}{\Gamma (-\beta -j)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1f9171542889b980efe6622a4e7095b75538dd)
^{\beta +m+1}g(z)=O(n^{-m-\beta -2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65970044c651e53385c2128cfa00b035293d6359)
通过应用 #引理 1
![{\displaystyle [z^{n}]\sum _{j=0}^{m}f_{j}(1-z)^{\beta +j}=\sum _{j=0}^{m}f_{j}[z^{n}](1-z)^{\beta +j}\sim \sum _{j=0}^{m}f_{j}{\frac {n^{-\beta -j-1}}{\Gamma (-\beta -j)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5406986cc8fb43fa3cda8d450e1d1385501b2c7c)
(根据 #引理 1)
(因为,根据 定理 中的假设,收敛半径
大于
,并且 柯西不等式 告诉我们
并且
)
(对于
常数,并假设
)。

因为
因为
.
总结起来
^{\beta +m+1}g(z)=O(\theta ^{\frac {n}{2}})+O(n^{-m-\beta -2})=O(n^{-m-\beta -2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93149f1ff8a68187862626453c13bc53b85ca102)
因为
[4] 因为
[5].
^{\beta }\sim {\frac {n^{-\beta -1}}{\Gamma (-\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f81026f6b6c905f991a59232ef98385b494d74)
证明
[6]
其中
是上升阶乘.
我们可以将类似的定理应用于具有多个奇点的函数。来自 Wilf[7] 和 Szegő[8].
如果
在
内解析,在单位圆
上有有限个奇点
,并且在每个奇点附近有展开式

那么我们有渐近级数
![{\displaystyle [z^{n}]f(z)=\sum _{v\geq 0}\sum _{k=1}^{r}c_{v}^{(k)}{\binom {\alpha _{k}+v\beta _{k}}{n}}(-e^{i\phi k})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860c6df152d2f0833d88ec0c874a1876a36335c1)
- Szegő, Gabor (1975)。正交多项式 (第 4 版)。美国数学学会。
- Wilf, Herbert S. (2006)。生成函数学 (PDF) (第 3 版)。A K Peters, Ltd.