应用数学/贝塞尔函数

贝塞尔函数

下面的方程称为贝塞尔微分方程。

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0$

贝塞尔微分方程的两个不同的解是以下两对中的任意一个：（1）贝塞尔函数（也称为第一类贝塞尔函数）和诺伊曼函数（也称为第二类贝塞尔函数）的线性组合 （2）第一类汉克尔函数和第二类汉克尔函数的线性组合。 贝塞尔函数（第一类）记为 $\displaystyle J_{n}(x)$。 贝塞尔函数的定义如下：

$J_{n}(x)={\frac {x^{n}}{2^{n}\Gamma (1-n)}}(1-{\frac {x^{2}}{2(2n+2)}}+{\frac {x^{4}}{2\cdot 4(2n+2)(2n+4)}}-\cdots )$

$=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+n+1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+n}$

其中

$H_{n}^{(1)}(x)=J_{n}(x)+iN_{n}(x)$

$H_{n}^{(2)}(x)=J_{n}(x)-iN_{n}(x)$

$N_{n}(x)={\frac {J_{n}(x)\cos(n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin(n\pi )}}$

Γ(z) 是伽玛函数。 $i$ 是虚数单位。 $N_{n}(x)$ 是诺伊曼函数（或第二类贝塞尔函数）。 $H_{n}(x)$ 是汉克尔函数。 如果 n 是整数，第一类贝塞尔函数是一个整函数。