应用数学/傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换将函数的时间域（红色显示）与函数的频率域（蓝色显示）关联起来。分布在频谱上的分量频率在频率域中表示为峰值。

傅里叶变换是将具有某些类型变量的函数，例如时间或空间坐标，$f(t)$ 例如，转换为具有频率变量的函数。

定义

${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-i2\pi t\xi }\,dt$...(1)

上述积分称为傅里叶积分，而 ${\hat {f}}(\xi )$ 称为 $f(t)$ 的 **傅里叶变换**。 $t$ 表示“时间”。 $\xi$ 表示“频率”。

另一方面，逆傅里叶变换定义如下

$f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi t\xi }\,d\xi$ ...(2)

在大学的教科书中，傅里叶变换通常是用角频率 $\omega$ 变量引入的。换句话说，将 $\xi \rightarrow \omega =2\pi \xi$ 代入书中的 (1) 和 (2)。在这种情况下，傅里叶变换以两种不同的方式写出。

1.

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(t)e^{i\omega t}d\omega$

2.

${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(t)e^{i\omega t}d\omega$