应用数学/拉格朗日方程

拉格朗日方程

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0$

其中 ${\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$
上面的方程被称为**拉格朗日方程**。

设质点的动能为 $T$，势能为 $U$.
$T-U$ 称为**拉格朗日量**。那么动能可表示为

$T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {y}}^{2}$

$={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})$

因此

$T=T({\dot {x}},{\dot {y}})$

$U=U(x,y)$

因此拉格朗日量 $L$ 为

$L=T-U$

$=T({\dot {x}},{\dot {y}})-U(x,y)$

$={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-U(x,y)$

因此，$T$ 仅依赖于 ${\dot {x}}$ 和 ${\dot {y}}$。 $U$ 仅依赖于 $x$ 和 $y$。 因此

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}$

同理，我们有

${\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}$

${\frac {\partial L}{\partial y}}=-{\frac {\partial U}{\partial y}}$