应用数学/拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种积分变换，广泛应用于物理学和工程学。

拉普拉斯变换涉及一种技术，使用反常积分将表达式转换为更易于操作的形式。我们通常在微分方程的背景下引入拉普拉斯变换，因为我们经常使用它们来解决一些无法使用其他标准技术解决的微分方程。然而，拉普拉斯变换只需要反常积分技术来使用。所以你可能在微积分的第一年就遇到了它们。

符号：拉普拉斯变换表示为 $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$.

拉普拉斯变换以数学家和天文学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的名字命名。

你需要了解的主题 反常积分

定义

对于函数 $f(t)$，使用奈皮尔的常数 $e$ 和复数 $s$，拉普拉斯变换 $F(s)$ 定义如下

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

参数 $s$ 是一个复数。

$s=\sigma +i\omega ,\,$，其中实数 $\sigma$ 和 $\omega$.

这个 $F(s)$ 是 $f(t)$ 的 **拉普拉斯变换**。

解释

以下是发生的事情。

拉普拉斯变换的例子

拉普拉斯变换的例子

$f(t)$	$F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$
$C$	${\frac {C}{s}}$
$t$	${\frac {1}{s^{2}}}$
$t^{n}$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$
${\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}$	${\frac {1}{s^{n}}}$
$e^{at}$	${\frac {1}{s-a}}$
$e^{-at}$	${\frac {1}{s+a}}$
${\rm {cos}}\ \omega t$	${\frac {s}{s^{2}+{\omega }^{2}}}$
${\rm {sin}}\ \omega t$	${\frac {\omega }{s^{2}+{\omega }^{2}}}$
${\frac {t^{n-1}}{\Gamma (n)}}$	${\frac {1}{s^{n}}}$ (n>0)
$\delta (t-a)$	$e^{-as}$
$H(t-a)$	${\frac {e^{-as}}{s}}$

在上表中，

1. $C$ 和 $a$ 是常数
2. $n$ 是一个自然数
3. $\delta (t-a)$ 是狄拉克函数
4. $H(t-a)$ 是Heaviside 函数

ID	函数	时域 $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	拉普拉斯域 $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	收敛域 对于因果系统
1	理想延迟	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	单位脉冲	$\delta (t)\$	$1\$	$\mathrm {all} \ s\,$
2	延迟的n次方并频移	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>0\,$
2a	n次方	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	$s>0\,$
2a.1	q次方	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	$s>0\,$
2a.2	单位阶跃	$u(t)\$	${1 \over s}$	$s>0\,$
2b	延迟单位阶跃	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	$s>0\,$
2c	斜坡	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0\,$
2d	n次幂，频移	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>-\alpha \,$
2d.1	指数衰减	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	$s>-\alpha \$
3	指数趋近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$s>0\$
4	正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
5	余弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
6	双曲正弦	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
7	双曲余弦	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
8	指数衰减正弦	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
9	指数衰减余弦	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
10	n次根	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0\,$
11	自然对数	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	$s>0\,$
12	贝塞尔函数 第一类，n阶	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	$s>0\,$ $(n>-1)\,$
13	修正贝塞尔函数 第一类，n阶	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	$s>|\omega |\,$
14	贝塞尔函数 第二类，零阶	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
15	修正贝塞尔函数 第二类，零阶	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	误差函数	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s>0\,$
17	常数	$C$	$\displaystyle {\frac {C}{s}}$
解释说明 $u(t)\,$ 代表Heaviside阶跃函数。 $\delta (t)\,$ 代表Dirac delta函数。 $\Gamma (z)\,$ 代表Gamma函数。 $\gamma \,$ 是欧拉-马斯刻罗尼常数。 $t\,$，一个实数，通常代表时间， 但它也可以代表任何独立维度。 $s\,$ 是复角频率。 $\alpha \,$，$\beta \,$，$\tau \,$，$\omega \,$ 和 $C$ 都是实数。 $n\,$ 是一个整数。 因果系统是指在所有时间 t 小于 t = 0 时，其冲激响应 h(t) 为零的系统。一般来说，因果系统的 ROC 与反因果系统的 ROC 不同。另见因果关系。

示例

1. 使用积分定义计算 ${\mathcal {L}}\{C\}$ （其中 $C$ 是一个常数）。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{0}^{\infty }e^{-st}C\,dt}&=&C\displaystyle {\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt}\\&=&\displaystyle {C\lim _{b\to \infty }{\int _{0}^{b}e^{-st}\,dt}}\\&=&\displaystyle {\left.C\lim _{b\to \infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}\right|_{t=0}^{t=b}}\\&=&\displaystyle {-{\frac {C}{s}}\left[\lim _{b\to \infty }{e^{-bs}}-e^{0}\right]}\\&=&\displaystyle {-{\frac {C}{s}}[0-1]}\\&=&\displaystyle {\frac {C}{s}}\end{array}}$

$\therefore \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{C\right\}={\frac {C}{s}}$

---

2. 使用积分定义计算 ${\mathcal {L}}\{e^{-at}\}$。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}\cdot e^{-at}\,dt&=&\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-(s+a)t}\,dt\\&=&\displaystyle \lim _{b\to \infty }{\displaystyle \int _{0}^{b}e^{-(s+a)t}\,dt}\\&=&\displaystyle \lim _{b\to \infty }\left[\displaystyle {\frac {-e^{-(s+a)t}}{s+a}}\right]_{t=0}^{t=b}\\&=&\displaystyle \lim _{b\to \infty }\left[\displaystyle {\frac {-e^{-(s+a)b}}{s+a}}-\displaystyle {\frac {-e^{-(s+a)0}}{s+a}}\right]\\&=&\displaystyle {\frac {1}{s+a}}\end{array}}$

$\therefore {\mathcal {L}}\{e^{-at}\}=\displaystyle {\frac {1}{s+a}}$