应用数学/帕塞瓦尔定理

帕塞瓦尔定理

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df$

其中 $X(f)={\mathcal {F}}\{x(t)\}$ 代表 x(t) 的连续傅里叶变换，而 f 代表 x 的频率分量。上述函数称为 **帕塞瓦尔定理**。

推导

令 ${\bar {X}}(f)$ 为 $X(f)$ 的复共轭。

$X(-f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(-t)e^{-ift}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{ift}$

$={\bar {X}}(f)$

$\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df$

这里，我们知道 $X(f)$ 等于 $x(t)$ 在傅里叶变换中展开的系数。
因此，$|X(f)|^{2}$ 的积分是

$\int _{-\infty }^{\infty }{\bar {X}}(f)X(f)\,df$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{ift}dt\right)\left({\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }x(t')e^{-ift'}dt'\right)df$

$=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x(t')\left({\frac {1}{2\pi }}e^{-if(t-t')}df\right)dtdt'$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x(t')\delta (t-t')dtdt'$

$=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt$

因此

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df$