应用数学/傅里叶变换理论基础

基础

傅里叶变换理论中最重要的两件事是“微积分”和“积分学”。 读者在学习傅里叶变换理论之前需要学习“微积分”和“积分学”。 因此，我们将在本页学习它们。

微积分

以黑色绘制的函数图形，以及以红色绘制的该函数的切线。 切线的斜率等于函数在标记点的导数。

微分是找到函数 $f(x)$ 在独立输入 x 中的导数的过程。 $f(x)$ 的微分表示为 $f'(x)$ 或 ${\frac {d}{dx}}f(x)$。 这两种符号都是相同的含义。

微分操作如下
${\frac {d}{dx}}(x^{3}+1)$
$=3x^{3-1}$
$=3x^{2}$

如您所见，在微分中，变量次数的数字乘以变量，同时次数本身减去 1。 不包含变量 $x$ 的项在微分中直接被移除。

示例

${\frac {d}{dx}}(x^{5}+x^{2}+28)$
$=5x^{5-1}+2x^{2-1}$ 28 不包含变量 x，因此 28 被移除
$=5x^{4}+2x^{1}$
$=5x^{4}+2x$

${\frac {d}{dx}}(x^{7}+x^{4}+x+7)$
$=7x^{7-1}+4x^{4-1}+1x^{1-1}$ 7 不包含变量 x，因此 7 被移除
$=7x^{6}+4x^{3}++1x^{0}$
$=7x^{6}+4x^{3}+1$

练习题

(1)${\frac {d}{dx}}(x^{4}+15)=$

(2)${\frac {d}{dx}}(x^{5}+x^{3}+x)=$

积分学

如果你对 $f(x)=x^{3}$ 或 $f(x)=x^{3}-2$ 进行微分，它们都会变成 $f'(x)=3x^{2}$。那么让我们考虑相反的情况。给定一个函数，当对该函数进行微分时，该函数变成了 $f'(x)=3x^{2}$。原始函数是什么？为了找到原始函数，使用了**积分学**。$f(x)$ 的积分表示为 $\int f(x)dx$。

积分的运算如下
$\int 3x^{2}dx$
$={\frac {3x^{2+1}}{2+1}}+C$
$=x^{3}+C$
$C$ 代表方程中的常数。

更一般地说，f(x) 的积分定义为

$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

定积分

定积分定义如下
$\int _{a}^{b}f(x)dx$
$=[F(x)]_{a}^{b}$
$=F(b)-F(a)$
其中 $F(x)=\int f(x)dx$

示例

(1)$\int 4xdx$
$={\frac {4x^{1+1}}{1+1}}+C$
$=2x^{2}+C$

(2)$\int _{1}^{2}(2x+1)dx$
$=[x^{2}+x]_{1}^{2}$
$=(4+2)-(1+1)$
$=4$

练习题

(1)$\int 6xdx=$
(2)$\int _{0}^{2}(3x^{2}+3)dx=$

欧拉数 "e"

欧拉数 $e$（也称为奈皮尔常数）在微分和积分中有特殊特性

$\int e^{x}dx=e^{x}+C$

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

顺便说一句，在数学中，$exp(x)$ 表示 $e^{x}$.