算术/运算性质

为什么运算有性质？

在继续学习运算性质之前，你必须理解两个基本问题

运算有性质有什么意义？
→如果没有运算性质，我们就不知道它们的用法。理解它们的用法有助于为以后解决文字题奠定基础。

为什么运算有性质？
→运算有性质定义了它们的用法。运算的用法是它们的本质，没有用法性质就毫无用处（反之亦然）。

通过理解性质，我们能够进入更高层次的思考领域。

这是因为性质说明了普遍情况，使我们能够得出更多数学概括。

数学性质的定义

加法

交换律: $a+b=b+a$
结合律: $(a+b)+c=a+(b+c)$
零元单位元: $0+a=a(=a+0)$
逆元: 对于每个 $a$ ，存在一个 $-a$ 使得 $a+(-a)=0$

乘法

交换律: $ab=ba$
结合律: $(ab)c=a(bc)$
单位元: $a\cdot 1=1\cdot a=a$
逆元: 对于每个 $a\neq 0$ ，存在一个 $({\dfrac {1}{a}})$ （或 $a^{-1}$ ），使得 ${a}({\dfrac {1}{a}})=1.$

一般而言，乘法的逆元性质可以更严格地表述为：两个数互为乘法逆元，当且仅当它们的乘积为1。

记住，结合加法和乘法就得到了...
→分配律: $a(b+c)=ab+ac.$

大多数规则都可以通过关注表达式和巧妙运用性质来推导出来。

例子

证明 $a\cdot 0=0$ .

证明。
$a=a\cdot 1=a\cdot (1+0)=a\cdot 1+a\cdot 0.$

等价于

$a=a+a\cdot 0$
从等式两边减去a，得到

$a\cdot 0=0$ .

证毕

加法和减法的性质

当然，你已经算过 4 + 3 = 7，但你试过 3 + 4 吗？你得到的结果一样吗？是的，因为加法的交换律。

对于任何数字a和b，a加b等于b加a。由此我们知道加法是可交换的，这意味着加法运算可以以任何顺序执行，结果相同。

那么 5 + 6 = 11 呢？没错，6 + 5 也等于 11。

加法还有一个性质，即结合律。这里有一个代数例子

对于任何数字 $a,b,c$ ： $a+(b+c)=(a+b)+c$

减法是否也一样？让我们试一试... 7 - 5 = 2，那么 5 - 7 = 2 吗？嗯... 不。如果你看看数轴，你会注意到当执行 5 - 7 时，你将低于 0，进入负数领域。具体来说，你的答案是 -2。即使 -2 在绝对值上与 2 相同，它也不是同一个数字。因此，减法不可交换。它是结合的吗？不，因为结合律依赖于交换律才能起作用（因为它实际上只是交换律的扩展）。

练习

结合律

实数的结合律为： $(a+b)+c=a+(b+c)$ 对于所有实数 $a,b,c$ 。这意味着加法的顺序无关紧要。

但是要注意，这只适用于加法和乘法。事实上，乘法具有相同的性质。 $(ab)c=a(bc)$ 对于所有实数 $a,b,c$ 。

括号的位置发生了变化，但你运算的顺序没有改变。