根式是一种特殊的数字,它是多项式方程式的根。首先,让我们看一下一种特定的根式,即“平方根”。它是一种与平方相关的特殊数字。
当我们有一个数字,比如 2,什么正数在平方后会给我们 2 呢?
- 1 × 1 = 1,所以这个数字必须大于 1。
- 2 × 2 = 4,所以这个数字必须小于 2。
- 1.5 × 1.5 = 2.25,所以这个数字必须小于 1.5。
我们可以无限地继续下去,每一步都越来越接近答案(这种细化答案的过程称为迭代)。我们正在寻找的数字大约是 1.41421…
显然,这对我们来说很难处理,所以我们有一个特殊的符号。对于一个数字 *a*,我们写
来表示平方后会给我们 *a* 的数字。
由于这是平方的逆运算,它也可以表示为 a1/2 并且
.
我们可以将这个概念扩展到其他类型的根式。
表示数字
,使得
。例如, ![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{7}}=1.91293...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021681745729bf435f41b4e06631eb6160b7aaa6)
请注意,不可能找到任何实数,其平方为负数。与负数相乘会改变被乘数的符号,因此两个负号会相互抵消。例如,-7 × -7 = 49,同样 7 × 7 = 49。因此,负数的平方根是一个未定义的操作,除非允许虚数作为答案。
要化简一个根式,你需要找到根式下数字的最大完全平方因子。

一旦你找到一个完全平方因子,你就可以将根式下的数字表示为两个因子的乘积。

然后,你可以将完全平方因子的平方根从根式中提出,并将其放在根式外。

一旦你将所有完全平方因子都提出,你就化简了这个根式。
“有理化分母”仅仅是将分母中的根去除。这是必要的,因为将根留在分母中是不合适的。为了有理化分母,你只需要用分母中的根乘以分子和分母。例如
如果可以化简,就进行化简。


只有当根号内的数字相同时,才能进行根式的加法和减法。例如,考虑以下表达式

由于它们的形式不同,因此无法直接相加。但是,下面的等式简化了第二项,得到了以下结果

现在,这些项可以相加(或相减)。另外,系数为 1 通常不写,所以

减法和加法操作一样,只是系数的加法变成了减法。
我们之所以可以这样做,是因为分配律。证明起来非常简单,如下所示

记住,系数为 1 通常不写,因此这个等式也可以写成

然后,我们从表达式中提取 

我们都知道
,所以

根式的乘法和除法非常简单。乘法几乎不需要任何操作。当给定两个需要相乘的根式时,只需将根号内的数字相乘,并将乘积放在根号下即可。考虑以下等式

然而,除法略有不同。本页前面提到的一个除法概念是将除法题写成分数。以下等式用常数(普通数字)说明了这个概念

同样的概念也适用于以下等式

然后你可以用本页前面在有理化分母下找到的技术来有理化表达式 