算术/根式

根式

根式是一种特殊的数字，它是多项式方程式的根。首先，让我们看一下一种特定的根式，即“平方根”。它是一种与平方相关的特殊数字。

当我们有一个数字，比如 2，什么正数在平方后会给我们 2 呢？

• 1 × 1 = 1，所以这个数字必须大于 1。
• 2 × 2 = 4，所以这个数字必须小于 2。
• 1.5 × 1.5 = 2.25，所以这个数字必须小于 1.5。

我们可以无限地继续下去，每一步都越来越接近答案（这种细化答案的过程称为迭代）。我们正在寻找的数字大约是 1.41421…

显然，这对我们来说很难处理，所以我们有一个特殊的符号。对于一个数字 *a*，我们写 ${\sqrt {a}}$ 来表示平方后会给我们 *a* 的数字。

由于这是平方的逆运算，它也可以表示为 a^1/2 并且
$(a^{1/2})^{2}=a^{1}=a$.

我们可以将这个概念扩展到其他类型的根式。 ${\sqrt[{3}]{a}}$ 表示数字 $x$，使得
$x^{3}=a$。例如， ${\sqrt[{3}]{7}}=1.91293...$

请注意，不可能找到任何实数，其平方为负数。与负数相乘会改变被乘数的符号，因此两个负号会相互抵消。例如，-7 × -7 = 49，同样 7 × 7 = 49。因此，负数的平方根是一个未定义的操作，除非允许虚数作为答案。

化简根式

要化简一个根式，你需要找到根式下数字的最大完全平方因子。

${\sqrt {162}}$

一旦你找到一个完全平方因子，你就可以将根式下的数字表示为两个因子的乘积。

${\sqrt {81*2}}$

然后，你可以将完全平方因子的平方根从根式中提出，并将其放在根式外。

$9{\sqrt {2}}$

一旦你将所有完全平方因子都提出，你就化简了这个根式。

有理化分母

“有理化分母”仅仅是将分母中的根去除。这是必要的，因为将根留在分母中是不合适的。为了有理化分母，你只需要用分母中的根乘以分子和分母。例如

${4 \over {\sqrt {5}}}={4{\sqrt {5}} \over ({\sqrt {5}})^{2}}={4{\sqrt {5}} \over 5}$

如果可以化简，就进行化简。

${10 \over {\sqrt {5}}}={10{\sqrt {5}} \over ({\sqrt {5}})^{2}}={10{\sqrt {5}} \over 5}={2{\sqrt {5}}}$

${4 \over {\sqrt {8}}}={{4} \over {\sqrt {(4*2)}}}={{4} \over {2}{\sqrt {2}}}={{4{\sqrt {2}}} \over {2{{\sqrt {2}}^{2}}}}={{4{\sqrt {2}}} \over {4}}={\sqrt {2}}$

对根式的运算

加法和减法

只有当根号内的数字相同时，才能进行根式的加法和减法。例如，考虑以下表达式

${{\sqrt {7}}+{\sqrt {28}}}$

由于它们的形式不同，因此无法直接相加。但是，下面的等式简化了第二项，得到了以下结果

${{\sqrt {7}}+{\sqrt {4*7}}}={{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}$

现在，这些项可以相加（或相减）。另外，系数为 1 通常不写，所以

${{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}={1{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}={3{\sqrt {7}}}$

减法和加法操作一样，只是系数的加法变成了减法。

我们之所以可以这样做，是因为分配律。证明起来非常简单，如下所示

${{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}$

记住，系数为 1 通常不写，因此这个等式也可以写成

${1{\sqrt {7}}+2{\sqrt {7}}}$

然后，我们从表达式中提取 ${\sqrt {7}}$

${{\sqrt {7}}*(1+2)}$

我们都知道 ${1+2}={3}$，所以

${{\sqrt {7}}*(3)}={3{\sqrt {7}}}$

乘法和除法

根式的乘法和除法非常简单。乘法几乎不需要任何操作。当给定两个需要相乘的根式时，只需将根号内的数字相乘，并将乘积放在根号下即可。考虑以下等式

${{\sqrt {11}}*{\sqrt {5}}}={\sqrt {55}}$

然而，除法略有不同。本页前面提到的一个除法概念是将除法题写成分数。以下等式用常数（普通数字）说明了这个概念

${{1}\div {2}}={{1} \over {2}}={0.5}$

同样的概念也适用于以下等式

${{\sqrt {10}}\div {\sqrt {3}}}={{\sqrt {10}} \over {\sqrt {3}}}$

然后你可以用本页前面在有理化分母下找到的技术来有理化表达式 ${{\sqrt {10}} \over {\sqrt {3}}}$

练习

简化根式

1

${\sqrt {50}}=$ $\surd$

2

${\sqrt {392}}=$ $\surd$

3

${\sqrt {290}}=$ $\surd$

有理化分母

4

${2 \over {\sqrt {4}}}=$ $\surd$

5

${3 \over {\sqrt {7}}}=$ $\surd$

6

${11 \over {\sqrt {72}}}=$ $\surd$

7

${396 \over {\sqrt {11}}}=$ $\surd$

计算

8

${{\sqrt {2}}+{\sqrt {8}}}=$ $\surd$

9

${{\sqrt {60}}-{\sqrt {15}}}=$ $\surd$

10

${{\sqrt {13}}\times {\sqrt {7}}}=$ $\surd$

11

${{\sqrt {17}}\div {\sqrt {5}}}=$ $\surd$