基础代数/因式分解/分解 a^2-b^2 二项式

词汇

平方差

任何形式为 $a^{2}-b^{2}$ 的二项式可以写成 $(a+b)\cdot (a-b)$ 。也就是说

$a^{2}-b^{2}=(a-b)\cdot (a+b)$ .

示例 1： 分解 $x^{2}-9$ 。

这很明显，只需取 $a^{2}=x^{2}$ 和 $b^{2}=9$ ，所以 $b=3$ 。因此 $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$

示例 2： $32w^{4}-162$ 。

这里，由于 32 不是完全平方数，因此不清楚我们是否可以使用平方差。但是，如果我们仔细观察，我们会发现我们可以提取出 2 的公因数。

$32w^{4}-162=2(16w^{4}-81)$

现在我们看到可以使用平方差来简化问题，取 $a^{2}=16w^{4}$ 和 $b^{2}=81$

$2(16w^{4}-81)=2(4w^{2}-9)(4w^{2}+9)$

现在我们注意到可以在第一个因数中再次使用平方差得到

$2(4w^{2}-9)(4w^{2}+9)=2(2w+3)(2w-3)(4w^{2}+9)$

现在，该式已完全分解。

这引出了我们的下一个要点，即 $a^{2}+b^{2}$ 是不可分解的（至少在本课程中是这样）。

设 a = b

因此：a^2 = ab

因此：a^2 - b^2 = ab - b^2

因此：(a + b)(a - b) = b(a - b)

现在将等式两边同时除以 (a - b)

因此：a + b = b

但由于 a = b，将 b 代入 a

因此：b + b = b

因此：2b = b

现在将等式两边同时除以 b

因此：2 = 1

证毕

这行不通，因为在第 5 行中，等式两边都除以了 (a-b)。现在，我们知道 a = b，因此 (a - b) = 0。这意味着在第 5 行中，等式两边都除以了 0，这是不允许的。如果允许除以零，那么可以用很多方法来证明虚假，这就是为什么这是不可能的。

使用 ^ 表示指数