基础代数/比例与比例推理/比例

词汇

比率：两个数字的比较。

倒数：一个数字的乘法逆元 - 当分数的分子和分母颠倒时。

等价比率：化简为相同比率的两个比率。

比例：表示两个比率相等的方程。

交叉相乘：见下文。

课程

有几种方法可以表达“比率”。让我们比较特定教室里男生和女生的数量。假设我们的教室有 25 名学生，其中 10 名是男生。这意味着有 15 名女生。因此，男生与女生的比率为 10 比 15。

写比率

有三种表达比率的方法。你可以像上面一样简单地使用文字，或者你可以使用冒号或分数（数学家选择）来分隔这两个数字。

10:15 或 10/15 或 ${\frac {10}{15}}$

在数学中，我们总是使用分数来表示比率。在这个教室的例子中，可以做出许多其他比率

${\frac {10}{25}}$，总学生人数中的男生人数

${\frac {15}{25}}$，总学生人数中的女生人数

${\frac {15}{10}}$，女生人数与男生人数的比率

简化比率

由于我们使用分数来表示比率，因此比率有时可以被简化。例如，我们假设的教室里男生与女生的比率为 ${\frac {10}{15}}$，但可以简化为 ${\frac {2}{3}}$。因此，如果我们说我们假设的教室里男生与女生的比率为 2:3，或者每 3 名女生就有 2 名男生，那么我们就是正确的。

比例

以下方程是一个比例

${\frac {10}{15}}={\frac {2}{3}}$

任何比例都只是一个方程，它说明两个比率彼此相等。有时，比例可能包含变量

${\frac {2}{3}}={\frac {x}{30}}$

如果我们想解这样的方程，我们可以使用一种叫做交叉相乘的方法。

使用交叉相乘解比例

如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，则在等号两侧对角线形成的乘积也相等： $ad=bc$。请注意，这等同于说 $bc=ad$。

示例问题

1) 比例 ${\frac {4}{6}}$ 等于比例 ${\frac {12}{16}}$ 吗？

我们可以通过交叉相乘来测试。如果交叉乘积相等，那么原始两个比率也相等。

$4\cdot 16$ ?= $6\cdot 12$

$64$ ?= $72$

不，$64\not =72$，所以 ${\frac {4}{6}}\not ={\frac {12}{16}}$.

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2) 解以下比例，求 x 的值。

${\frac {3}{4}}={\frac {x}{10}}$

交叉相乘。

$3\cdot 10=4x$

$30=4x$

通过将等式两边除以 4 来求解 x。结果：$x={\frac {30}{4}}=7.5$.

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3) 求解 x

${\frac {x+1}{4}}={\frac {3}{8}}$

交叉相乘

$8\cdot (x+1)=3\cdot 4$

$8x+8=12$

现在，求解 x

从等式两边减去 8：$8x=4$

将等式两边除以 8：$x={\frac {1}{2}}$

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4) 一个九年级代数教室的男生与女生的比例为 \frac{1} {2}。如果有 14 个女生，教室里有几个男生？

我们可以建立一个比例来比较男生与女生的比率，其中 x 代表教室里的男生人数

${\frac {1}{2}}={\frac {x}{14}}$

通过交叉相乘解比例。

$2x=14$

$x=7$

班上有 7 个男孩。

练习游戏

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练习题

使用 / 作为分数线，并在整体和分数之间加空格！

简化每个比率。

1

${\frac {2}{10}}=$

2

${\frac {12}{48}}=$

3

${\frac {3x}{9x}}=$

解每个比例。

4 ${\frac {x}{4}}={\frac {8}{12}}$

x=

5 ${\frac {10}{17}}={\frac {14}{x}}$

x=

6 ${\frac {2}{x-2}}={\frac {3}{7}}$

x=

建立一个比例来回答以下问题。

7 如果某个教室的男生与女生之比为 2:3，有 12 个男生，那么班上有多少个女生？

8

披萨面团的食谱要求 10 杯面粉和 2 杯水。如果苏珊想只用 3 杯面粉，她需要用多少杯水？