核医学基础物理/傅立叶方法

傅立叶方法在下面以相当通用的术语描述。我们将看到，任何波形都可以使用正弦波通过傅立叶变换在数学上分解成具有不同振幅和频率的正弦波。我们还将看到，由此产生的傅立叶频谱可以被修改以增强和/或抑制感兴趣的频率。本练习的目的是更详细地讨论调制传递函数 (MTF) 以及断层图像重建过程中的滤波阶段，而不是之前。

周期函数

一个周期波形是一个在给定时间或空间间隔内定期重复自身的函数。一个很好的例子是正弦波或方波。当波形随时间波动时，该波可以通过其频率（见下图）来表征，它被定义为每秒经过给定点处的周期数。频率以每秒周期数或赫兹 (Hz) 为单位表示。医学中这种周期波形的一个很好的例子是心电图 (ECG)。

当波形随距离波动时（见下图），该波可以通过其空间频率来表征，它被定义为每单位距离的周期数，例如每毫米周期数。

这种后一种波动类型的医学成像示例是 Pb 条纹图案，它被广泛用于确定成像系统的空间分辨率（见下图）。在这种情况下，空间频率以例如每毫米线对表示，因为每个 Pb 部分及其相邻的空隙被称为线对。

傅立叶级数

医学成像中几乎所有感兴趣的周期函数都可以用傅立叶级数表示。这种方法认为，任何周期波形都可以用以下一系列正弦和余弦波之和来表示

f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+a_{1}\cos(x)+a_{2}\cos(2x)...+a_{n}\cos(nx)+b_{1}\sin(x)+b_{2}\sin(2x)...+b_{n}\sin(nx)

例如，方波可以用

f(x)={\frac {4h}{\pi }}\left(\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+{\frac {1}{5}}\sin(5x)+{\frac {1}{7}}\sin(7x)+...\right)\ \ (1)

其中 h 是方波的振幅。

相反的考虑在数学上也是正确的，即，可以通过将许多不同频率和振幅的正弦波加在一起来构造一个方波。下图演示了方程 (1) 中前四个项的加法。第一项 (sin x) 显示在面板 (a) 中，第二项与第一项的加法显示在面板 (b) 中，依此类推。注意，基频或第一谐波 [面板 (a)] 与方波具有相同的频率，并且更高的频率逐渐构建了方波的形状 [面板 (b)-(d)]。我们可以得出结论，更高的频率有助于方波两侧的锐度。

傅立叶频谱

傅立叶级数也可以表示为频谱。例如，下图绘制了方程 (1) 中方波的频率分量的振幅与空间频率的关系。注意，傅立叶频谱可以用于识别构成给定波形的正弦波的频率和振幅。还要注意，振幅与距离的图通常被称为空间域表示，而振幅与空间频率的图被称为频率域表示。

傅立叶变换

傅立叶变换是一种优雅的数学技巧，用于将数据从空间域转换为频率域（见下图）。换句话说，通过对该波形进行傅立叶变换，可以很容易地确定构成任何波形的正弦波的频率和振幅。

傅立叶变换在医学成像中被广泛使用，其应用包括

确定成像系统的空间分辨率。
在核磁共振成像中的空间定位。
分析多普勒超声信号。
发射型和透射型计算机断层扫描中的图像滤波。

傅立叶逆变换是用于以相反方向转换数据的数学技巧，即从频率域转换到空间域 - 见下图

总之，傅里叶变换 (FT) 允许我们识别波形的组成正弦波，而逆傅里叶变换 (IFT) 允许我们从组成正弦波中构建波形。

最后，需要注意的是，使用数字计算机计算傅里叶变换通常使用一种称为快速傅里叶变换 (FFT) 的特殊算法。

狄拉克δ函数

从医学成像的角度来看，一个有趣的案例是 δ函数

狄拉克δ函数的傅里叶变换告诉我们它是由无数个幅度相同的正弦波组成的。如果我们开始拓宽这个函数 - 如下图所示 - 我们看到低频正弦波的幅度很高，而正弦波的幅度随着空间频率的增加而减小。

调制传递函数

这种拓宽现象类似于医学成像中发生的情况。我们可以认为上图中的幅度与距离的关系图类似于

铅板小孔图像的密度剖面，或
放射性点源图像的计数率剖面。

这种类型的图在医学成像中称为点扩散函数 (PSF)，它的傅里叶频谱称为调制传递函数 (MTF)

下表显示了该领域中使用的一般术语和成像术语的比较

领域	一般术语	成像术语
空间	输入函数	点扩散函数 (PSF)
空间频率	傅立叶频谱	调制传递函数 (MTF)

此外，MTF 可以从

线扩散函数 (LSF)
微分的边缘响应函数 (ERF) 中推导出。

象征性地，我们可以写

I_{\text{actual}}=I_{\text{ideal}}*PSF\,\!

其中 $*$ 表示卷积运算。换句话说，当理想图像与成像系统的 PSF 卷积时，就会得到实际图像。

从理论上讲，要恢复理想图像，只需要消除 PSF 的影响（例如，尝试解决哈勃太空望远镜遇到的成像问题）。这可以使用傅里叶变换轻松实现，因为空间域中的卷积过程相当于空间频率域中的乘法过程，即

FT(I_{\text{actual}})=FT(I_{\text{ideal}})\cdot FT(PSF)\,\!

因此，

FT(I_{\text{ideal}})={\frac {FT(I_{\text{actual}})}{FT(PSF)}}

完整的恢复过程称为反卷积操作，表示为

I_{\text{ideal}}=IFT\left\lbrace {\frac {FT(I_{\text{actual}})}{FT(PSF)}}\right\rbrace

过滤傅里叶频谱

上面讨论的图像恢复过程是傅里叶频谱滤波的一个例子。换句话说，一旦为图像生成了傅里叶频谱，就可以对其进行滤波，以便可以修改某些空间频率，例如增强或抑制。然后，可以对该滤波后的频谱进行逆变换，以生成具有例如锐化或平滑特征的滤波后的图像 - 如下图所示。

下图展示了手骨扫描的示例。它的二维 FFT 显示在右上角面板中。应用滤波器抑制低于 0.05 个循环/像素和高于 0.3 个循环/像素的空间频率，即 3-20 像素的带通，结果显示在图中的中间行，而抑制低于 0.01 个循环/像素和高于 0.1 个循环/像素的频率的滤波器显示在最下面一行。

在我们继续之前，我们需要更详细地考虑图像数据本身的空间频率特性。请记住，图像通常使用由像素组成的方形矩阵进行数字采样，像素的大小决定了数字图像对其模拟对应物的逼近程度。由此产生的数字空间分辨率对可以容纳的最大空间频率设置了限制。数字成像中通常应用的标准基于奈奎斯特-香农采样定理，这意味着

当图像的空间频率分量具有最大空间频率 f 时，图像数据应以至少为 f 两倍的采样频率进行采样，以实现忠实再现。

这种采样频率通常称为奈奎斯特频率。在较低的采样频率下，由此产生的数字图像可能包含伪像模式，称为莫尔图案，这种现象有时被称为混叠。

反投影滤波

简单反投影过程中固有的条纹使得实际图像看起来像是与1/r函数进行了数学结合，其中r是傅立叶域中的径向距离。在滤波反投影中，傅立叶滤波可用于去除这种¹⁄_r模糊的影响。

符号上，测量的投影可以被认为是与模糊函数进行卷积的结果

P_{\text{measured}}=P\cdot {\frac {1}{r}}

滤波过程的第一步是计算测量投影数据的傅立叶变换，即

FT(P_{\text{measured}})=FT(P)\cdot FT\left({\frac {1}{r}}\right)

然后通过将测量投影的FT除以FT(¹⁄_r)并对结果进行逆变换来获得校正后的投影P，即

P=IFT\left\lbrace {\frac {FT(P_{\text{measured}})}{FT\left({\frac {1}{r}}\right)}}\right\rbrace

FT(¹⁄_r)函数仅仅是斜坡函数。换句话说，当计算测量投影的FT并将结果除以该斜坡函数时，可以通过计算该商的IFT来获得校正后的投影。

此外，如果在FT(¹⁄_r)函数中引入一些变化，则可以同时校正这种模糊效果并增强或抑制反投影图像中的特征。例如，可以去除模糊伪影，同时

可以增强精细细节（如X射线CT中的所谓骨算法），或者
可以抑制图像噪声（如X射线CT中的所谓软组织算法）。

一般来说，可以通过将斜坡函数乘以第二个函数来实现斜坡函数的变化，例如SPECT中使用的巴特沃斯函数

{\text{Amplitude}}={\frac {1}{1+({\frac {f}{f_{c}}})^{2n}}}

其中

f_c：截止频率，它定义了振幅下降50%的频率，以及
n：函数的阶数。

下表显示了SPECT成像中使用的几种滤波器的特性

滤波器	方程	评论
Ram-Lak	${\text{Amplitude}}=1\ \,{\text{for}}\ f<f_{c}\,\!$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	星形伪影去除；噪声敏感性
巴特沃斯	${\text{Amplitude}}={\frac {1}{1+({\frac {f}{f_{c}}})^{2n}}}$	降噪
梅茨	${\text{Amplitude}}={\frac {1-{\big (}1-MTF(f)^{2}{\big )}^{x}}{MTF(f)}}$	降噪；对比度增强
维纳	${\text{Amplitude}}={\frac {1}{MTF(f)}}\left\lbrace {\frac {MTF(f)^{2}}{S+MTF(f)^{2}}}\right\rbrace$	降噪；对比度增强
Scramp	${\text{Amplitude}}=1+{\frac {f}{f_{c}}}\lbrace MTF(f_{c})-1\rbrace \ \,{\text{for}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪；对比度增强
MTF逆	${\text{振幅}}={\frac {1}{MTF(f)}}\ \,{\text{当}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪；对比度抑制
汉明	${\text{振幅}}=0.54+0.46\cos \left(\pi {\frac {f}{f_{c}}}\right)\ \,{\text{当}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪
帕森	${\text{振幅}}=2\left\lbrace 1-\left({\frac {f}{f_{c}}}\right)^{3}\right\rbrace \ \,{\text{当}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪
谢普-洛根	${\text{振幅}}={\frac {2f_{c}}{\pi f}}\sin \left(\pi {\frac {f}{f_{c}}}\right)\ \,{\text{当}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪
汉宁	${\text{振幅}}={\frac {f}{2}}\left(1+\cos \pi {\frac {f}{f_{c}}}\right)\ \,{\text{当}}f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪