继集合及其操作的介绍之后，本节介绍了正式的数论。

数字

数字的使用可能是数学理论的第一个应用。正如我们所见，许多许多对象可以用数学逻辑来定义，但对这些对象的数量的研究是基于数论的。作为一个人，对数量有一个隐含的理解是自然的，但正式定义数字将需要上一节中的定义。再次，让我们从无开始；特别是数字零 (0)，表示没有对象的量。形式上可以这样说，一个包含零个对象的集合是空的。如果将一个对象（任何对象）引入到这个集合中，那么这个集合就不再是空的，并且它里面的对象数量也不再是零。只要引入的对象是单独的，我们就可以用英语说这个集合现在包含一个对象。从这里继续下去就产生了我们所知和喜爱的数字概念。

定义：数字代表任意集合中任意对象的数量。
定义： $n(A)$ 是对集合 A 执行的操作，它给出集合 A 中包含的对象的数量。

这些定义导致了以下演进

$0=n(\{\}),\;1=n(\{a\}),\;2=n(\{a,b\}),...$

给了我们一组符号 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 来表示数量。

当超过 9 的值时，我们可以尝试用不同的符号来表示每个值，直到无穷大，但这很快就会变得很繁琐，因为符号要么必须以无限小的量差异，要么必须增长到非常大的尺寸来表示值的改变，在实践中，由于分辨率的限制和宇宙的特定性质，它们必须增长。所以我们不这样做；这里需要引入位置数字系统的概念。

在位置数字系统中，数字的实际值取决于（顾名思义）它在构成数字的数字集合中的位置。继前面的演进之后，序列以数字 10 继续。这里数字 1 持有 $n(A)$ 的值，其中 A 是一个集合，它包含比符号 9 代表的数字多一个对象。数字 0 是一个占位符，重要的是它通过存在增加了左侧数字的值。在数字十中，占据数字 1 位置的数字的值也会以类似的方式缩放。例如，在演进中向前跳跃，数字 83。数字 3 保持其基本值，数字 8 的基本值按数字 10 中数字 1 代表的值进行缩放。在这个常用的印度-阿拉伯系统中，数字的值是它在最右端位置的数字基本值的十倍。这样做的结果是一个强大的系统，它允许以简洁的书面形式传达大而不同的数字的概念。