初等数学/集合论

在本节中，我们将介绍一些基本的集合论。

集合

集合是事物的明确定义的集合；事物可以是物体、数字、符号等等。如果我们能够确定给定事物是否属于集合，那么该集合就被认为是明确定义的。构成集合的事物是它的成员，也被称为该集合的元素。集合的元素可以是物体、字母、项目，甚至其他集合。集合可以是有限的（包含确定数量的元素），也可以是无限的（包含无穷无尽的成员）。

集合用英语字母的大写字母表示，例如 A、W、D、C、V、X、Z...。集合的元素用花括号（也称为卷曲括号）表示，成员之间通常用逗号隔开。例如：A={2,4,6,8,10}。由于列出了所有元素，因此称为列表形式。这也被称为枚举法。

通常，集合的元素将具有某种模式，或者元素在某种程度上是相似的。有时，当模式很明显时，集合将以 "..." 结尾，表示元素以这种方式继续。例如：X={1,3,5,7,9,11,...}。其他时候，集合可以用文字或数学符号来描述。数学符号的读法如下面的例子：对于集合 X X={1,3,5,7,9,11,...}。这显示为 X={x/x 是奇数}

we read this as X is a set of all x's such that x is an odd number.  In general, this is read as " X is the set of x such that x has a property".
Here the / stands for "such that" often a colon (:) will be used instead. 

为了表示元素属于集合，我们写：$x\in A$ 这读作“x 是集合 A 的元素”或“x 属于 A”。

特殊集合

一些集合在数学中经常使用，因此它们用特殊的符号表示。

$\mathbb {N} =\{Set\;of\;natural\;numbers\}=\{1,2,3,4,5,6,...\}$

$\mathbb {Z} =\{Set\;of\;all\;integers\}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

$\mathbb {Q} =\{Set\;of\;rational\;numbers\}=\{{\frac {a}{b}}\;|\;a,b\in \mathbb {Z} \;and\;b\neq 0\}$

$\mathbb {R} =\{Set\;of\;real\;numbers\}$

$\mathbb {C} =\{Set\;of\;complex\;numbers\}=\{a+bi\;|\;a,b\in \mathbb {R} \;and\;where\;i^{2}=-1\}$

例子

$\{1,2,3\}$

$\{7,12,80\}$

$\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z\}=\{{\text{letters of english alphabet}}\}$

$\{1,2,3,4,5,...\}=\{{\text{Set of positive integers}}\}$

$\{2,4,6,8,10,12,14...\}=\{{\text{Set of positive even integers}}\}=\{x\mid x\in \mathbb {Z} \;{\text{and }}x{\text{ is even}}\}$

基本操作

并集

两个集合的并集用 $\bigcup$ 表示。两个集合的并集最好描述为“两个集合中所有元素一次”。

正式定义：$A\bigcup B=\{x|x\in A\;or\;x\in B\}$

例如

$A=\{1,2,3\}$ $B=\{4,5,6\}$

$A\bigcup B=\{1,2,3\}\bigcup \{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$

交集

两个集合的交集用 $\bigcap$ 表示。两个集合的交集最好描述为“仅存在于两个集合中的元素”。

正式定义：$A\bigcap B=\{x|x\in A\;and\;x\in B\}$

例如

$A=\{1,2,3,4,5,6\}$ $B=\{2,4,6,8,10\}$

$A\bigcap B=\{1,2,3,4,5,6\}\bigcap \{2,4,6,8,10\}=\{2,4,6\}$