初级数学/什么是数学？
这个问题是我在数学中遇到的最复杂的问题之一，而且没有简单令人满意的答案。数学哲学是一个复杂而困难的主题，不适合入门教材。
在朴素的层面上，我们可以将数学描述为表达关系的语言。这包括逻辑、测量、代数、微积分和几何。这种语言让我们能够理解我们的宇宙并解决其中的问题。当你的眼睛看到一页数学时，它看起来像是一堆符号。数学不是页面上的符号，而是这些符号的真正含义。
地球上任何角落的两个人，如果都理解数学，就可以看同一页并精确地理解含义，统一地理解问题，或者在没有一个词的情况下继续讨论。在整个星球上没有其他语言可以教授。
本维基教科书致力于帮助那些看到符号页面却听不懂数学语言的人。
数学包含两个学科：逻辑和理论。它们是独立的，但又是相互依赖的，因为没有这两者，数学就毫无用处。不幸的是，许多人只学习了理论方面。后面将更详细地介绍这两个学科。现在，我们将把所有内容都摆在桌面上。
逻辑是从公理开始，以结论结束的有序思想的表达。数学逻辑有很多规则和形式，以确保在整个逻辑论证中保持真理。一旦成功构建了结论，就可以有信心地将其用作另一个不同逻辑论证中的公理。
数学逻辑研究一组称为逻辑的人工语言。人们认为这些语言具有理论上有趣的结构，这些结构值得研究，既是为了它们本身，也是为了这种研究有望揭示贯穿整个数学的推理方法的真谛。
理论处理将现实世界抽象到数学世界。数学逻辑既严格又具体，而数学理论则是抽象的和概括的。毫无疑问，这就是数学的乐趣所在。使用数学理论，一个人可以定义如何建造一座房子或为什么手机能工作，预测看似随机的事件，甚至预测行星、恒星和星系的运动！
当理论从抽象世界转向现实世界时，它被称为应用数学。这些是人们在日常生活中对数学的体验，也是人们通常最熟悉的那一小部分数学领域。
学生必须始终牢记，数学语言（术语和符号）只是表示数学思想的工具。数学专业的学生经常陷入或被语言所困扰，而他们应该更多地关注掌握概念。数学之所以具有普遍性，仅仅是因为它使用了共同的逻辑和共同的概念。语言的实际符号（字母、单词、句子）并不像思维过程那样重要。
但幸运的是，这种语言，尤其是书面语言，多年来已经高度标准化，只是为了便于交流。但是数学无论用什么方式表示都是有效的，只要所有术语和符号对读者来说都是明确定义的。有时没有单一的方法来表达数学，就像有时没有单一的方法来进行论证一样。理想情况下，在思想的开放市场中，最有效的表达方式将成为公认的规范。然而，数学语言，就像所有的人类语言一样，有时会纠缠于传统的符号。我们人类热爱我们的传统！但通常所需要的只是一个全新的表达方式，就能使曾经令人困惑的概念突然变得清晰。
无论如何，最重要的是学习概念，然后将符号视为交流工具，以及解决问题过程中的记账工具：以及心灵的努力，而大多数人无法跟踪数学逻辑的所有复杂线索。
学生不应该过分强调记忆大量的知识和概念，而不努力去理解它们为什么是正确的，为什么那些事实必须遵循这些论证，以及为什么它们是有意义的。学生应该重点发展技能并练习智力体操，这将使他们能够用数学思维和解决数学提出的问题。那些能够从头开始解决问题，提出新想法，通过自己的思维过程解决问题的人，对数学和社会更有用，而不是那些只能回忆事实和数字的人，因为这些信息总是在维基百科上可以查到！也就是说，能够撰写新的维基百科文章的人比只能阅读它们的人更有用！
然而，记忆也很有用，因为当然没有人可能拥有足够的脑力、记忆力、能力、时间或耐心来从第一原理证明所有事实。通常，可以通过简单地证明一个（也许已经非常复杂和丰富的）公理或事实会导致一个新结论，就可以做出有用的数学推理的巨大飞跃。我相信艾萨克·牛顿 (?) 曾经说过，“我能看得这么远，是因为我站在巨人的肩膀上。” 在别人的工作基础上进行建设并无羞耻，只要承认来源。这不仅是对应得的荣誉表示公平的赞赏，而且还允许对事物进行验证，尤其是当这些“巨人”的思想只是隐含的时。
数学区别于科学等其他学科的一个美丽之处在于，前提条件并不总是需要建立。在数学中，我们可以简单地假设我们的基础是正确的，并构建一个新的逻辑结构。事实上，有些数学概念是如此基本和明显，以至于它们通常被认为是理所当然的！以整数和计数为例：假设大多数人都会同意它们“存在”，并且不需要任何内在的有效性证明，似乎是合理的。