初等数学/从哪里开始？从无开始！
清空你的思绪，什么都不要假设。当你达到这种空白状态时，你就到达了数学的起点：大无（以大写“N”表示）。为了从无开始，使用数学语言，我们需要一个框架来构建。我们需要的框架必须允许我们随着时间的推移扩展语言的范围。为了找到这样一个框架，数学转向了逻辑的世界。
首先，对逻辑1的描述
【逻辑】通常被认为是研究论证的学科，尽管逻辑的精确定义在哲学家之间存在争议。【逻辑学家的任务】是相同的：提出一个关于有效和谬误推理的解释，让人们能够区分好的论证和坏的论证。
从这个描述中可以清楚地看到，一个健全的逻辑体系需要论证来进行。一个**逻辑论证**是从一些定义出发，得出结论的顺序过程。显然，如果没有东西可以争论，你就不能进行论证（或得出结论！）。**定义**是一个简单的陈述，可以构成论证的基础。**结论**是论证的终点。一个有用的论证会得出关于原始定义的结论。
举个例子
- 定义：有水的东西是湿的。
- 定义：没有遮挡雨水的东西会被水浸湿。
- 结论：没有遮挡雨水的东西会被水浸湿。
这三个陈述构成一个逻辑论证。使用这个逻辑论证的结论，我们现在可以识别出在我们周围，在下一次下雨时有被淋湿风险的事物。房子里的沙发是安全的；外面的树木就不安全。注意，结论直接来自定义——在这个例子中，论证没有**主体**。
仔细思考这个论证，你会发现我们跳进了事情的中间。你可以问：什么是雨？什么是水？什么是“东西”？
显然，有很多逻辑论证可能先于这个论证。例如，我们可以将水定义为具有化学式 H2O 的分子集合，并将雨定义为 H2O 分子集合的集合。然后可以进行将雨与水联系起来的论证。
但是，什么是分子？同样，我们可以将分子定义为原子的集合。然而，什么是原子？更重要的是，什么是集合？很快就会变得明显，为什么哲学家会花这么多时间静静地思考。
幸运的是，我们正在思考数学，而不是存在意义（这很容易花上一辈子2）。请记住，一个有用的逻辑论证会得出关于原始定义的结论。在我们上面的例子中，我们发现可以将两个定义合并成一个更紧凑的形式，作为结论。在这种情况下，很难说结论比定义更有用。然而，一些逻辑论证可以从许多定义开始，最后得出一个简单的结论，这个结论本身变得非常有用。这叫做**归约**3。归约将是我们数学框架的首要目标。
是时候开始构建了！由于起点是无，因此不可能进行论证。我们需要一个定义！
定义：**对象**是可以被描述的任何事物。
我们将忽略所有导致这个定义（作为结论）的逻辑论证，因为它们属于纯粹的哲学领域。我们还将断言（而不是假设！）这个定义是真实的。仔细考虑前面关于真理的断言！其含义是强大的：从一开始，数学就变得不再是可触摸的。有了这个定义，我们可以说“宇宙是一个对象”或“空虚是一个对象”或“词语是对象”；事实上，甚至一个想法、一种颜色、一种感觉，甚至尚未被发现的事物都是一个对象！啊，自由！没有边界！如果这个基本定义被保留（并且它会被保留），我们的数学框架将具有巨大的范围和广度。
等等！有一个问题——我们的定义是用文字写成的，特别是英语，我们不想受限于谁可以理解或使用这个定义。在其他语言中也有一些概念，以及我们想要包含在数学领域中尚未被发现的事物。为了避免语言的限制给框架设置边界，符号被用来代替文字。现在，我们将使用小写英文字母来表示对象。记住，它们是数学中的符号，而不是字母。字母有声音；符号没有。**符号**可以代表上面定义的任何对象。我们现在可以向我们的框架添加一个定义
定义：**符号**是一个书面字符。
接下来是关于如何使用符号的决定，这带来了另一个问题：符号数量远远不够（甚至远远不够）来给每个对象分配一个单独的符号。另一个问题是，如果将符号分配给对象，就会造成混淆。其他人必须知道每个符号具体代表什么，这意味着要创建一个巨大的符号字典。符号字典必须在每次发现、创建或考虑新的对象时更新。这不好！
为了解决符号的问题，我们向我们的框架添加以下定义
定义：**变量**是一个表示某个对象或某些对象的属性的符号。
哇！我们的字典变得小多了。现实要求我们至少有一些符号是明确定义的和通用的——这种情况并不遥远。然而，任何没有这种具体定义的符号都可以用作变量。变量定义的关键点是“表示一个属性”。幸运的是，这个定义是开放的，因为“表示一个属性”不是一个限制性短语。成功了！我们的语言是通用的，而且我们的自由回来了。
利用之前的定义，我们现在可以定义一个变量
让 β（希腊字母 Beta）表示一个具有两个且仅有两个轮子的对象。
这个语句不需要我们说明 β 代表的具有两个且仅有两个轮子的具体对象是什么。事实上，满足 β 的对象甚至不需要存在。但现在我们可以说出 β 可能是什么样的对象。例如，β 可以是自行车，但不能是汽车。β 可以是摩托车，但不能是摩托艇。注意，β 的定义允许我们将所有对象分成两组：一组满足 β 条件，另一组不满足 β 条件。这让我们得出了下一个定义
定义：**集合**是一组具有一个或多个共同属性的对象。
集合在数学中至关重要。如果你不确定这个定义是如何得出的，也许花点时间回顾一下之前的定义以澄清！集合在数学中非常重要，而且经常出现，因此需要通用的符号来表示它们。对于集合，通用的符号包括左右花括号，用法如下
定义：集合**B**包含由变量 β 表示的所有对象。
（几乎）数学符号：**B** 等同于 {β}
数学符号并不纯粹——它是“几乎”纯粹的，因为它包含英语单词。让我们立即解决这个问题！
定义：**等价**是指两个符号表示相同的值、状态或相同的事物。另一个常见的术语是**等于**。在数学中，符号 = 代表完全等价。让我们更仔细地看一下。由于“等价”可以指“状态或条件”，因此两个盒子，每个盒子中都包含三个物品，可以被认为是“等价的”。然而，如果这三个物品不是相同类型的东西，比如一个盒子中有三只猫，另一个盒子中有三只狗，那么它们就不“相等”。为了使它们相等，它们必须完全相同。这个概念在更高级的数学结构中反复出现。现在做出这个区分是为了避免学生将来可能产生的混淆。许多学生在遇到这种情况时，会认为数学不一致且矛盾。请记住，人们在解释材料时有时会走捷径，或者是在解释过程中太投入了，以至于忘记了一些事情。这是人性，应该原谅，因为完美很少存在。
在我们上面关于集合**B** 的（几乎）数学符号中，短语“等同于”表示等价。因此，我们可以用纯粹的数学语言来写这个条件
B = {β}
希望你能理解“B 是一个包含所有满足变量 β 条件的对象的集合”。在数学文献中，通常使用大写英文字母作为集合的符号，使用小写英文字母作为变量的符号。此外，集合符号通常是变量符号的大写形式。从现在开始，我们将遵循这些约定。
示例
A = {a}
你如何理解上面那行？值得注意的是，变量 a 从未被定义，但我们仍然理解上面那行所代表的概念。重要的是要理解，上面那行也没有验证我们之前的任何定义。这是数学独特力量的初体验。
定义: 泛化 是数学能够为各种各样的对象指定行为和关系，而无需实际定义这些对象的能力。
我们当前的框架中没有足够的工具来完全利用泛化。但我们最终会！现在，以下是另一个集合的定义
P = {p}
这是一个抽象集合，因为我们不知道变量 p 代表什么。
Q = {q:
所有单词任何以 'm' 开头的单词}
这是一个具体集合，因为给出了变量 q 的定义。这里引入了一个新的通用符号。
定义: 在集合的符号表示中，冒号 (:) 用于表示短语“定义为”。
根据这个定义，上面给出的集合 Q 的数学语言可以读作“Q 是一个包含所有满足变量 q 条件的对象的集合，其中 q 定义为所有以 'm' 开头的单词 任何以 'm' 开头的单词”。
当一个集合包含一组特定的对象时，还有一种额外的指定方式。
X = {x: 一头驴，一个蘑菇，一杯水，一片云}
没有针对变量 x 的口语表达能够用共同或共享的属性来正确描述这些对象。尽管如此，这是一个有效的数学集合。这再次证明了数学表达形式语言无法描述的概念的能力。这也展示了数学力量的一小部分，随着我们前进，我们将充分利用它。
如果来源已更改，一些引述可能不是逐字逐句的；请见谅！
- 3参见 维基百科:还原 (哲学) (返回)
对于大学水平的数学，有必要对希腊字母和拉丁字母（英语字母的来源）有一定的了解，因为两者都被用作数学符号。学习新概念时，如果至少符号是熟悉的，可以减少焦虑。 维基百科:希腊字母 (返回)