生物物理学/波义耳定律

本节探讨波义耳定律以及理想气体压力和体积之间的关系。一般来说，波义耳定律指出，当体积减小时，理想气体的压力会增加。反之亦然：当理想气体的体积增加时，压力会随之减小。换句话说，这两个属性成反比。为简单起见，我们只考虑处于恒温状态的气体。

图 1. 将砝码添加到稳定在注射器顶部的杯子上。使用 LoggerPro 和 Vernier 压力传感器，可以测量压力（mg/A）和体积，以观察波义耳定律的依赖关系。还可以 测量温度 以验证过程是等温的。

让我们考虑理想气体保持恒温的等温过程。公式 PV = NkBT 描述了气体在某个点的状态。这可以重新排列，使压力等于：$P={\frac {Nk_{B}T}{V}}$，其中 N 是粒子数，k_B 是玻尔兹曼常数，T 是以开尔文为单位的温度，V 是以 m³ 为单位的体积。为了说明这种关系，图 1 显示了压力与体积的反比关系。

图 2. 使用此处描述的方法获得的压力与体积的关系图。

为了计算对理想气体所做的功，必须考虑公式 $W=-P\Delta V$。回想一下，压力和体积成反比，因此如果压力发生变化，那么体积也会发生变化。由于两个变量都在变化，我们必须使用积分来考虑这种变化：$W=-PdV=-\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {Nk_{B}T}{V}}dV$。如果我们然后取出常数，这个公式可以改写为 $W=-Nk_{B}T\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {1}{V}}dV$。计算积分后，我们得到以下公式：$W=-Nk_{B}T{\Bigg (}ln(V_{f})-ln(V_{i}){\Bigg )}$，也可以写成：$W=Nk_{B}Tln{\Bigg (}{\frac {V_{i}}{V_{f}}}{\Bigg )}$。这是在恒温下理想气体体积变化所做的功。

为了说明波义耳定律，你可以做一个简单的实验，包括注射器、砝码和压力计。图 1 和 3 显示了用于此演示的设置。首先，测量没有砝码放在注射器顶部时的压力。这应该是大气压力，大约为 101,325 帕斯卡。为了测量压力和体积的变化，首先将砝码放在注射器顶部，直到活塞移动到下一个毫升刻度。此时，测量质量、压力、体积以及从一个毫升刻度到下一个刻度的距离。继续执行此过程，直到活塞到达 1 毫升刻度，或者压力传感器达到其最大读数。收集完所有数据后，绘制压力与体积的关系图。你还可以使用上面推导的公式计算所做的功，并将其与公式 $W=mgx$ 进行比较，其中 m 是砝码的质量（以公斤为单位），g 是重力加速度（9.8 m/s²），x 是活塞移动的距离（以米为单位）。

图 3 显示了实验设置的示意图，其中活塞由于 400 克的力作用在活塞顶部而向下移动了 1 毫升（从 5 毫升到 4 毫升）。注射器连接到压力计，压力计使用 LoggerPro 在计算机屏幕上显示以 kPa 为单位的压力读数。

图 3. 波义耳定律实验的另一个示意图。