生物物理学/功、压强和体积之间的关系

理想气体定律

我们将推导和研究的第一个概念是理想气体定律。你可能在普通化学课程中熟悉理想气体定律的形式 ${\it {PV}}={\it {nRT}}$ ，其中P是压强，V是体积，n是粒子的摩尔数，R是理想气体常数，T是温度。这个方程可以用来描述一个充满理想（不相互作用、随机移动）气体粒子的封闭系统。

推导

从第一原理理解和推导出这个定律是我们掌握热力学生物物理学的首要步骤。让我们首先用一种新的方式写出理想气体定律。这被认为是理想气体定律的更“物理”的公式，它更容易推导。这个新的公式是 ${\it {PV}}={\it {Nk}}_{B}T$ 。这两个公式唯一的区别是后者包含一个N，它代表系统中的粒子数而不是粒子的摩尔数。此外，常数不再是理想气体常数R，而是玻尔兹曼常数k_B。玻尔兹曼常数将单个粒子的能量与温度联系起来。

考虑一个封闭的圆柱体和活塞系统。活塞到另一侧的距离为x，活塞的面积（以及圆柱体的另一侧）为A。圆柱体充满单原子理想气体粒子，这些粒子以弹道方式随机地在内部运动。

圆柱体目前处于三维状态。粒子被允许上下移动，左右移动，前后移动。但是，想象一下，我们将圆柱体挤压成一个无限小的管子，这样粒子只能左右移动。由于我们只需要担心一个维度而不是三个维度，这大大降低了证明的复杂性。

在这一点上，我们应该说明迄今为止证明的几个假设。理解假设非常重要，因为它们为我们提供了关于证明的有效性、适用性和一般理解以及由此产生的概念的指导。首先，我们假设所有粒子都以相同的速度运动。乍一看，这个假设似乎荒谬。然而，从整体上看，大量的粒子（想想1 x 10²³）确实表现出聚合的平均速度。这个“平均”的概念将在整个统计力学中多次出现。这个想法只有在大型系统中才有效，但由于我们通常关注热物理学，所以这个假设成立。

第二个假设是碰撞是弹性的，动量是守恒的。这意味着当一个质量为m、速度为v的粒子与容器的一端碰撞时，那么 $p_{i}={\it {mv}}$ 和 $p_{f}=-{\it {mv}}$ ，其中p_i是粒子碰撞前的动量，p_f是碰撞后的动量。