CLEP 大学代数/代数证明入门

对于某些学生来说，数学感觉就像一套背下来的规则。然而，学生在代数中需要记忆的只是关于所研究对象的基本事实和一些符号。学生觉得需要记住的任何性质实际上都可以从他们应该记住的基础知识中推导出来。

在本页中，我们将介绍逻辑定律和条件语句的性质。我们将应用实数和代数定律来证明一些常用的定理。最后，我们将使用代数来证明数学命题为真。

集合导论

对任何与数学相关事物的基本理解都始于学习集合。虽然这并不能代替离散数学课程（或 CLEP 大学数学考试），但您通常在那里学到的一些概念将在更早的阶段引入。因此，我们将尝试使这种介绍直观易懂。最后，学习集合和逻辑可以很容易地帮助您在现实生活中（尤其是逻辑）中，特别是在概率的背景下。

大多数人会将集合想象成一组被定义的对象（称为元素）的集合。但是，需要一个限制。

定义：集合

集合是“定义明确”的对象的集合，这些对象称为元素。集合通常用一个单一的、大写的字母表示。

这里有一个问题：集合可以包含自身吗？如果存在一个包含所有集合的集合，那么不包含自身的集合将在该集合中。然而，这是不可能的；该集合不会在自身中，但不能被定义为这样，因为该集合包含所有集合。由于根据这种定义不可能定义它是否是一个集合，因此包含所有集合的集合是不可能的（这个悖论被称为罗素悖论）。集合必须定义明确的限制是出于这个原因的必要性。

“定义明确”目前还很模糊，但构成“定义明确”的限制超出了本文的范围。对于那些好奇的人来说，了解策梅洛-弗兰克尔集合论将很重要（尽管对于我们想要在大学代数中完成的事情来说有点高级）。

集合可以包含任意数量的对象。例如，我们可以有一个包含所有正的、偶数的、一位数的集合， $A$ 。我们也可以有一个不包含任何东西的集合（我们称之为空集， $\emptyset$ ）。我们也可以有常见的早餐饮料的集合， $D$ 。

$A=\{0,2,4,6,8\}$
$\emptyset =\{\}$
$D=\{{\text{咖啡}},\,{\text{牛奶}},\,{\text{水}},\,{\text{橙汁}},\,{\text{苹果汁}}\}$

注意我们如何定义集合。我们定义它的方式是用花括号， $\{\}$ ，并用逗号分隔元素。集合也是无序的，这意味着集合中元素的顺序不会改变一个集合是否等于另一个集合。因此，如果 $A$ 定义如前，并且 $B=\{0,4,2,8,6\}$ ，那么 $A=B$ 。这告诉我们关于集合的一个非常重要的东西。

元素定义集合

根据我们的定义，集合是一组元素。这意味着这些对象定义了集合。请记住，这是根据定义的，所以这是合理的逻辑。

定义： $s$ 属于（不属于） $S$

假设有一个集合 $S$ ，它包含（或不包含）一个对象 $s$ 。对象 $s$ 属于 $S$ 写成 $s\in S$ 。否则，如果 $s$ 不属于 $S$ ，那么 $s\notin S$ 。

如果有两个集合， $A$ 和 $B$ ，那么其中一个集合可以包含另一个集合作为元素，例如 $A\in B$ 。否则，那么 $A\notin B$ 。因此，一个集合是否包含在另一个集合中，是一个条件逻辑问题： $A\in B$ 是“真”的或者 $A\in B$ 是“非真”的。不存在中间选项。

一个集合只有在包含相同元素的情况下才能等于另一个集合。元素的顺序无关紧要，只要每个元素通过其定义相对应，并且每个集合中元素的数量也相同。因此，这意味着集合由其元素唯一确定。

示例 1.1.(a)：集合难题

设 $A=\{0,2,4,6,8\}$ 和 $B=\{0,1,\{2,4\},3,6,4\}$ 。

(a) 对于在两个集合中都找到的元素，将它们写成集合

S

中的元素。

(b) 对于所有不常见的元素，写出所有这样的"

e\in A

但

e\notin B

" 或反之，其中

e

是一个只在一个集合中找到的元素，而在另一个集合中没有找到。

答案:

(a) $S=\{0,4,6\}$ 。

(b) $2,4,8\in A$ 但 $2,4,8\notin B$ 且 $1,\{2,4\},3\in B$ 但 $1,\{2,4\},3\notin A$ .

对 (a) 和 (b) 的解释:

这些大多是不言而喻的。请记住，任何集合内的集合都被定义为该集合的元素。但是，如果该元素包含任何对象，则它不是“父”集合的一部分。例如，设 $E=\{2,4\}$ 。这里 $B=\{0,1,E,3,6,4\}$ 。我们知道 $E\in B$ 和 $2,4\in E$ 。然而， $E$ 中的任何元素都不定义 $B$ 。元素只定义它自己的集合。

定义包含元素的集合有两种不同的方式，显式和隐式。

定义：显式集合

设有一个集合 $S$ ，使得 $a,\,b,\,c\in S$ 。集合的显式定义是用大括号，即集合花括号— $\left\{\right\}$ — 来写，如下

S=\left\{a,\,b,\,c\right\}

，其中所有和只有在

S

中找到的元素必须写在集合花括号内。

上面集合的读法是 $S$ 是包含 $a,\,b,\,c$ 的集合。

显式定义集合是我们一直在使用的，但是，当集合中存在无限多个元素时，这也会变得毫无用处。下一个定义应该帮助我们解决这个问题。

定义：隐式集合

设有一个集合 $S$ ，使得 $a,\,b,\ldots ,\,z\in S$ 。集合的隐式定义是用集合花括号和省略号来写，前提是集合的元素表现出一定的规律，如下

S=\left\{a,\,b,\ldots ,\,z\right\}

.

上面集合的读法如下： $S$ 是包含 $a,b$ 的集合，依此类推，直到 $z$ 。

对集合更严谨的定义如下：

定义：集合（最终版本）

集合，通常用单个字母表示，是元素的“定义明确”的集合。集合也由其元素唯一定义。

由于元素定义了集合，因此了解集合的大小通常很重要。这被称为集合的基数或大小。为了保持这部分内容的直观性，我们将从这里开始使用大小。

定义：集合的大小

一个包含 $n$ 个元素的集合 $S$ 的大小为 $n$ ，记为

|S|=n

示例 1.1.(b)：早餐饮料

设 $D$ 是常见的早餐饮料的集合。以下是美国最常见的早餐饮料的非全面列表：咖啡、牛奶、橙汁、苹果汁、水。

(a) 用集合符号写出集合

D

。

(b) 求出集合的大小。用正式符号写出来

答案:

(a) $D=\{{\text{coffee}},\,{\text{milk}},\,{\text{water}},\,{\text{orange juice}},\,{\text{apple juice}}\}$ .

(b) $|D|=5$ .

对 (a) 和 (b) 的解释:

这些都相当直观。列表中项目的数量为五个，因此集合的大小为五个。

检验你的理解

说明：一些问题将要求你在五个选项中选择一个。对于这些问题，选择最适合的选项。
有些问题将要求你在提供的方框中键入数字答案。
有些问题将要求你选择一个或多个答案。

	$0,1,2,3,\ldots ,99\in A$ 以及 $0,1,2,3,\ldots ,99\in B$ .
	$\{0,1,2,3,\ldots ,99\}\in A$ 并且 $\{0,1,2,3,\ldots ,99\}\in B$ .
	$0,1,2,3,\ldots ,99\in \{0,1,2,3,\ldots ,99\}$ 并且 $\{0,1,2,3,\ldots ,99\}\in A$ .

|A|=

, 并且

|B|=

使用以下信息回答问题 3-4。
已知

a\in A

，

a,b\in B

，并且

c\in C

.

	$a\in D$ .
	$a,b\in D$ .
	$c\in D$ .
	$a,b,c\in D$ .
	以上选项都不正确。

稍后添加更多问题。

属性定义元素，因此定义集合

一个对象可能具有需要记录的属性。如果该对象本身因此而发生改变，那么定义该属性就非常重要。这些属性被称为**条件**（更常见的是**命题函数**，但为了提供一个非循环的函数定义，避免在函数定义是非循环的情况下将函数定义视为循环）。

定义：条件

假设有一个操作 $C\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots \right)$ ，使得对象变量 $x_{1},\,x_{2},\,\ldots$ 根据变量的值或操作 $C$ （其“性质”）给出真值。这就是**条件**。

由于集合是由其对象定义的，条件也定义了集合。对于具有条件的给定集合，其表示法为

S=\left\{x\mid C(x)\right\}

或

S=\left\{x:C(x)\right\}

其中，这样的集合被读作** $S$ 是所有满足条件 $C(x)$ 为真的 $x$ 的集合**。术语“满足条件”源自竖线 ( $|$ ) 或冒号 ( $:$ )。在本教材中，我们将使用竖线 $|$ 来表示“满足条件”，因为这是大多数大学代数课程中的标准用法。

当一个集合可以通过条件更好地表示时，会使用一种特殊的表示法。例如，取所有斐波那契数的集合 $F$

F=\{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89\ldots \}

.

这个集合可以隐式列出。但是，当集合的元素存在规律时，集合会变得更有用。令 $f(k)$ 表示斐波那契数列的索引，其中 $k$ 是从零开始的索引。该集合可以等效地写成以下形式

F=\{f(k)|f(k)=f(k-2)+f(k-1),\,f(k),k\in \mathbb {Z} ^{+},\,f(0)=0,\,f(1)=1\}

.

虽然这种符号看起来弊大于利（而且似乎更令人困惑），但实际上，它告诉我们关于该集合的大量信息，包括使用的模式、集合存在所需的初始条件，以及 $f(k){\text{ and }}k$ 需要属于的集合，才能使这种模式生效。

定义：集合构造式

集合符号的一种特殊情况，其中一组元素可以使用更实用的方式列出，或者元素太多而无法使用普通集合符号列出。

E=\{f(n)|C(n)\}

我们这样解读该符号：“ $E$ 是所有 $f(n)$ 的集合，其中 $C(n)$ 为真。” 这里， $f(n)$ 是一个表达式，而 $C(n)$ 是一个规则或条件。

现在我们可以轻松地解读集合。回到集合 $F$ （斐波那契数列集合）

$F=\{f(k)|f(k)=f(k-2)+f(k-1),\,f(k),k\in \mathbb {Z} ^{+},\,f(0)=0,\,f(1)=1\}$ .
$F$ 是所有 $f(k)$ 的集合，其中 $f(k)=f(k-2)+f(k-1)$ ， $f(k){\text{ and }}k$ 属于正数集合，并且有两个初始条件， $f(0)=0{\text{ and }}f(1)=1$ 。

示例 1.2.(a)：集合构造式

用集合构造式和隐式或显式符号表示以下内容：

(a) 所有偶数的集合。

(b) 所有奇数的集合。

(c) 所有素数的集合。

(d) 方程

{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}=0

的所有实数解的集合。

(e) 方程

{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}=0

的所有自然数解的集合。

(f) 方程

2x+5=8

的所有整数解的集合。

答案:

(a) $\{2n|n\in \mathbb {Z} \}=\{n\in \mathbb {Z} |n{\text{ is even}}\}=\{\ldots ,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4,\ldots \}$ .

(b) $\{2n+1|n\in \mathbb {Z} \}=\{n\in \mathbb {Z} |n{\text{ is odd}}\}=\{\ldots ,\,-3,\,-1,\,1,\,3,\ldots \}$ .

(c) $\{n\in \mathbb {N} |n{\text{ is a prime number}}\}=\{2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\ldots \}$ .

(d) $\left\{x\in \mathbb {R} |{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}\right\}=\left\{-2,{\frac {1}{\sqrt {2}}},\,1,\,2\right\}$ .

(e) $\left\{x\in \mathbb {N} |{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}=0\right\}=\{1,\,2\}$ .

(f) $\left\{x\in \mathbb {N} |2x+5=8\right\}=\emptyset$ .

解释:

项目 (a)-(c)

这些大多不言自明。请注意，我们可以写出两种可能的答案。 $n\in \mathbb {Z}$ 和 $2n$ 都是表达式。但是，为了确保两者等价，我们需要一个规则，以便表达式中的元素等于另一个表达式中的元素。类似于 (b)。

项目 (d)-(f)

一组解可以用以下表达式表示，其中 $x\in \mathbb {R}$ 或 $x\in \mathbb {N}$ 。规则就是方程本身，因为它描述了如何找到解集。这对于集合生成式表示法来说已经足够了。要得到集合中的解，只需解方程。

{\begin{aligned}{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}&=0&{\text{(Original equation)}}\\{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{-2}}&=0&{\text{(Distributive property)}}\\(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)&=0&{\text{(Division property of equality)}}\end{aligned}}

根据零因子定理，

\Rightarrow x=-2,{\frac {1}{\sqrt {2}}},1,2

这就是显式集合表示法派上用场的地方。因为自然数不包含负数、分数或平方根，所以自然数解集只有 $1,2$ 。

这种分析使我们能够确定其中一个集合（参见项目 (f)）是空的，因此等价于空集， $\emptyset$ 。

检验你的理解

说明：一些问题将要求你在五个选项中选择一个。对于这些问题，选择最适合的选项。
有些问题将要求你在提供的方框中键入数字答案。
有些问题将要求你选择一个或多个答案。

	如果 $a\in A$ ，并且 $\|A\|<\|B\|$ ，那么 $A\in B$ 。
	如果任何 $a\in A$ ，那么 $a\in B$ 。
	如果任何 $a\in \mathbb {N}$ ，那么 $a\in A$ 。
	如果任何 $b\in B$ ，那么 $b-1\in A$ 。
	如果 $b\in B$ ，并且 $\|B\|<\|A\|$ ，那么 $B\in A$ 。

稍后添加更多问题。

比较集合

当然，许多集合与另一个集合相似。因此，许多数学家发现比较集合非常有用。这里将列出一些词汇术语。

定义：子集

假设 $P$ 和 $Q$ 是集合。如果每个元素 $p\in P$ 也在 $Q$ 中，那么 $P$ 是 $Q$ 的 **子集**。写成

P\subseteq Q

如果至少有一个元素 $p\in P$ 使得 $p\notin Q$ ，那么 $P$ 不是 $Q$ 的子集，或者

P\nsubseteq Q

.

子集的概念非常简单，但在比较两个集合时却非常强大。然而，许多学生在比较集合时可能会忽略符号的精确性。以下列举了一些正确表达的示例，并附有相应的解释。这种解释将帮助您识别子集和非子集。

$\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3,4,5\}$ $\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3,4,5\}$ .
- 因为 $1,3,2\in \{1,2,3,4,5\}$ ， $\{1,2,3\}$ （集合）是 $\{1,2,3,4,5\}$ 的子集。
$\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3\}$ $\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3\}$ .
- 因为 $1,3,2\in \{1,2,3\}$ ， $\{1,2,3\}$ 是 $\{1,2,3\}$ 的子集。
$\{1,2\}\nsubseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ $\{1,2\}\nsubseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ .
- 虽然 $\{1,2\}\in \{4,3,\{2,1\}\}$ ，但集合 $\{1,2\}$ 的元素无法在集合 $\{4,3,\{2,1\}\}$ 中找到。换句话说， $1,2\notin \{4,3,\{2,1\}\}$ 。
$\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ $\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ .
- 因为 $\{1,2\}\in \{4,3,\{2,1\}\}$ ， $\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ 。如果你无法理解这一点，就令 $A=\{1,2\}$ 。请注意 $\{4,3,\{2,1\}\}=\{4,3,A\}$ 。因为 $\{2,1\}=A\in \{4,3,\{2,1\}\}=\{4,3,A\}$ ， $\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ .

另一个需要了解的定义是 **超集**。定义很复杂，但直观理解却很简单。

定义：超集

假设 $P$ 和 $Q$ 是集合。如果 $P\subseteq Q$ ，则 $Q$ 是 $P$ 的 **超集**，记为

Q\supseteq P

如果 $P\nsubseteq Q$ ，则 $Q$ 不是 $P$ 的超集，或者

Q\nsupseteq P

.

以下将列出一些例子，并附有解释。请注意它们与上面的例子相同。

$\{1,3,2\}\nsupseteq \{1,2,3,4,5\}$ $\{1,3,2\}\nsupseteq \{1,2,3,4,5\}$ .
- 因为 $\{1,2,3,4,5\}\nsubseteq \{1,3,2\}$ ， $\{1,3,2\}\nsupseteq \{1,2,3,4,5\}$ 。
$\{1,2,3,4,5\}\supseteq \{1,3,2\}$ $\{1,2,3,4,5\}\supseteq \{1,3,2\}$ .
- 因为 $\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3,4,5\}$ ， $\{1,2,3,4,5\}\supseteq \{1,3,2\}$ 。
$\{1,3,2\}\supseteq \{1,2,3\}$ $\{1,3,2\}\supseteq \{1,2,3\}$ .
- 因为 $\{1,2,3\}\subseteq \{1,3,2\}$ ， $\{1,3,2\}\supseteq \{1,2,3\}$ 。
$\{4,3,\{2,1\}\}\nsupseteq \{1,2\}$ $\{4,3,\{2,1\}\}\nsupseteq \{1,2\}$ .
- 因为 $\{1,2\}\nsubseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ ， $\{4,3,\{2,1\}\}\nsupseteq \{1,2\}$ 。
$\{4,3,\{2,1\}\}\supseteq \{\{1,2\}\}$ $\{4,3,\{2,1\}\}\supseteq \{\{1,2\}\}$ .
- 因为 $\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ ， $\{4,3,\{2,1\}\}\supseteq \{\{1,2\}\}$ 。

检验你的理解

说明：对于以下每个给出的条件，将提供四到五行。确定适用于给定集合的正确定义，用于问题中提供的一个。一些问题需要多个正确答案，因此需要选择多个选项。

组合集合

组合集合的过程非常有用，尤其是在概率的背景下。

定义：并集

假设 $P$ 和 $Q$ 是集合。集合 $P$ 和 $Q$ 的并集是集合 $P\cup Q=\{x|x\in P{\text{ or }}x\in Q\}$ 。

如果你想向一个五岁孩子解释： “并集” 是一个包含了 $P$ 和 $Q$ 中所有东西的集合。

下面给出了一些例子，其中 $A=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{h}}\}$ ， $B=\{{\text{b}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}}\}$ ，和 $C=\{{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}}\}$ 。这些是所有集合的可能组合（不包括与自身集合的组合）。

$A\cup B=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}},{\text{h}}\}$
$A\cup C=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}},{\text{h}}\}$
$B\cup C=\{{\text{b}},{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}},{\text{d}},{\text{f}}\}$
$A\cup B\cup C=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{c}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}},{\text{g}},{\text{h}}\}$

定义：交集

假设 $P$ 和 $Q$ 是集合。集合 $P$ 和 $Q$ 的 **交集** 是集合 $P\cap Q=\{x|x\in P{\text{ and }}x\in Q\}$ 。

如果你想向一个五岁孩子解释：**交集** 就是包含同时存在于 $P$ 和 $Q$ 的所有东西的集合。

下面给出了一些例子，其中 $A=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{h}}\}$ ， $B=\{{\text{b}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}}\}$ ，和 $C=\{{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}}\}$ 。这些是所有集合的可能组合（不包括与自身集合的组合）。

$A\cap B=\{{\text{b}}\}$
$A\cap C=\emptyset$
$B\cap C=\{{\text{e}}\}$
$A\cap B\cap C=\emptyset$

定义：差集

假设 $P$ 和 $Q$ 是集合。集合 $P$ 和 $Q$ 的 **差集** 是集合 $P-Q=\{x|x\in P{\text{ and }}x\notin Q\}$ 。

如果你想向一个五岁孩子解释：**差集** 就是包含 $P$ 的元素，但排除掉同时存在于 $Q$ 或存在于 $Q$ 的元素的集合。

下面介绍了一些例子，其中 $A=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{h}}\}$ ， $B=\{{\text{b}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}}\}$ ，以及 $C=\{{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}}\}$ 。这些是所有可能的集合组合（不包括与自身集合的组合以及包含所有三个集合的组合）。

$A-B=\{{\text{a}},{\text{h}}\}$
$A-C=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{h}}\}$
$B-A=\{{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}}\}$
$B-C=\{{\text{b}},{\text{d}},{\text{f}}\}$
$C-A=\{{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}}\}$
$C-B=\{{\text{c}},{\text{g}}\}$

检验你的理解

逻辑导论

逻辑在许多领域都非常重要。但在数学中尤其重要，因为没有这个工具，我们就无法提出定理或算法。这就是为什么我们特别重视这个工具的教学。虽然这不是哲学课，但我们会尽力教授你需要掌握的知识，以便我们能够向你展示证明而不会遇到太多困难。

定义：逻辑

逻辑是正确推演信息的流程，并不一定得到正确的信息。

推演流程就是通过某种相关方式“连接”陈述的能力。

例如，我们知道亚里士多德是一个“grefunkle”，而“grefunkles”是“prostireoni”。因此，亚里士多德是一个“prostireonis”。

现在，“grefunkles”和“prostireoni”是虚构的词语；这些东西并不存在。然而，我们所做的句子在逻辑上是正确的。请记住，逻辑并不需要正确的信息，因此这个句子在逻辑上是正确的，而实际上并不正确。

陈述

逻辑必须从“陈述”开始。毕竟，我们提供的例子如果没有“陈述”就不可能存在。

定义：陈述

陈述是一个句子或数学表达式或方程式，它要么为真，要么为假，没有中间状态。

定义：真值

真值是陈述真假性的命题。这些真值几乎总是“真”或“假”，尤其是在经典逻辑中。

陈述需要某种“动词”，主要是“陈述动词”，如“是”或“是”。例如，“苹果是蓝色的”是一个陈述，因为它要么为真，要么为假（这里，对于许多苹果来说，它是假的）。问题不是陈述。下面提供更多示例。

每个偶数都可以被自身和二整除。真。
所有质数都是奇数。假。
比二十二少十二的数比结果少十二多二十二。真。
如果平行四边形的一条边长为 $p$ ，那么平行四边形的面积为 ${\frac {1}{2}}p^{2}$ 。错误。
等腰三角形的任意一条边长等于另外两条边长的平方根。错误。
如果四边形中只有一条边与其对边不平行，那么它就是一个梯形。正确。

语句 #4 和 #6 是一种我们将在本节中非常详细讨论的语句类型。请牢记句子的形式以备将来参考。

请注意，语句 #4 包含一个变量 $p$ 。只要语句本身的真假不受变量代表的含义或变量的值的影响，语句就可以使用变量。我们将在本节中进一步讨论这个问题。

此外，正如定义中所述，语句不必是句子。

$\pi =3.141519265358979...$ 正确
$\pi =2.718281828459045...$ 错误。
$2\in \mathbb {N}$ 正确
$2\in \mathbb {Z} ^{-}$ 错误。
$\{\}\subseteq \emptyset$ 正确
$\{\}\supseteq \emptyset$ 正确

请记住，您使用的数学表达式需要用我们描述的“陈述动词”形式来表达。例如， $2\in \mathbb {N}$ 以更简洁的形式表明 $2$ 是自然数集的元素，因此这是一个有效的语句。而 $\mathbb {N}$ （自然数集）就不是一个有效的语句。它没有告诉我们任何信息。

语句可以在证明甚至数学问题中多次使用。这就是数学家们开发工具，能够用一个字母（通常是 $P,Q,R,S$ ）来声明语句的原因。当需要超过四个语句时，会使用下标，尽管允许使用提供的字母之外的字母（即使这有些不合常规）。

$P:$ 单词“cranberry”中包含两个以上的不同字母。正确.
$Q:$ 任何三位数的各位数字之和都在 $1$ 和 $27$ 之间。正确。
$R:$ 任何两个连续的素数之间相差六。错误。
$S(x,y):\{x,\{y\}\}\cap \{\{x\},y\}=\emptyset$ 。正确。

对于 $S(x,y)$ 来说，括号内的语句告诉我们，在一个语句中有两个变量。这是一种记号，因为有时变量对于确定其真值非常重要。这将在稍后解释。

作为一个经验法则，如果一个句子没有描述任何关于主语的内容，那么它就不是一个语句。以下是一些非语句的示例。

集合 $S$ 和 $P$ 。
$S\cup P$ 是什么？
$2+2$
${\frac {1}{2}}=2x-1$ .

最后一个要点对于不熟悉识别语句的学生来说是一个棘手的问题。有些人会说这是一个语句，因为 $2x-1$ 是否等于 ${\frac {1}{2}}$ 都是真的或假的。但是，如果你仔细想想，这个语句完全取决于 $x$ 的值。这被称为开放语句。

定义：开放语句

开放语句是一个句子或数学表达式或方程，它取决于其变量的值。

回顾开放语句。令 $P(x):{\frac {1}{2}}=2x-1$ 。如果 $x={\frac {3}{4}}$ ，那么 $P\left({\frac {3}{4}}\right)$ 为真。否则，它为假。这就是为什么 $P(x)$ 不是一个语句。它取决于 $x$ 的值。一个语句需要是真或假，但不能是由于一个变化的因素造成的。

在处理语句时，需要讨论的一个重要主题是否定。

定义：否定

给定一个命题 $P$ ，该命题的否定使其真值与其原始值相反。

当我们取一个命题并对其进行否定时，我们会使一个真命题变为假，或者使一个假命题变为真。以下是一些示例

每个偶数都不能被自身和 2 整除。假。
一些质数不是奇数。真。

第二个例子要求我们将“所有”改为“一些”。关于何时以及如何进行此操作的更多信息将在后面介绍。

上面的例子来自开头。请注意，我们如何使这些命题与其从一开始的真值相反。数学家经常使用这些，因此我们有一个表示它的符号。

符号：非或 它不是这种情况

给定一个命题 $P$ ， $R:\neg P$ （或 $R:\sim P$ ）(两者都可以读作“非 $P$ ”或“它不是这种情况 $P$ ”)，其真值仅取决于 $P$ ，其中此否定符号 $\neg$ 表示“非”或“它不是这种情况”。本教材更喜欢 $\neg$ 符号，但 $\sim$ 在证明类中使用得更多。

假设 $R:\neg P$ 。为了使 $R$ 的真值为 $T$ （真），需要 $P$ 为假。否则， $R$ 是 $F$ （假）。这可以使用这个简单的真值表（一个显示每个单独语句的真值以及结果列的表）来进一步说明。

{\begin{array}{|c||c|}\hline P&\neg P\\\hline T&F\\F&T\\\hline \end{array}}

条件语句和双条件语句的性质

条件语句

如果你想更深入地理解数学定理，你需要理解 **条件语句**。

定义：条件语句

以“如果 P 则 Q”（通常）的形式写成的句子，其中 $Q$ 在 $P$ 真值条件下成立，被称为 **条件语句**。只有当 $P$ 为真，但导致 $Q$ 为假时，条件语句才为假。

下面列出了该句子的其他表达方式。

" $Q$ 如果 $P$ "
" $P$ 只有当 $Q$ "
"只要 $P$ ，那么也 $Q$ "
" $P$ 是 $Q$ 的充分条件"
" $Q$ 是 $P$ 的必要条件"

以下是一些例子。

如果你通过了这次期末考试，你就能通过这门课。
如果你学习西班牙语和文化，你就能去西班牙旅行。
只有当加芬克尔和普罗斯蒂雷奥尼之间至少过去了 100 年，加芬克尔才是普罗斯蒂雷奥尼。
只要你停电，你也会失热。
创作好音乐是获得 10 万美元的充分条件。
成名是编写最佳微积分教科书的必要条件。

条件语句有一个充分条件（在“如果”之后） - 或 **假设** - 和一个必要条件（在“则”之后） - 或 **结论**。这就是为什么如果我们的真假设导致了假结论（结果与我们陈述的结论不同），那么条件语句就是假的。

数学是条件语句的好朋友。以下是一些使用条件语句的常见语句。

如果一个直角三角形的直角边长为 $a,b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。
$A\cap \emptyset =\emptyset$ 如果 $A$ 是一个有限集。
$f(x)$ 仅当 $f(a)=f(b)$ 对于某些实数 $a\neq b$ 时，才是单射。

由于这类语句非常重要，因此理解它们的工作原理非常必要。下面将介绍这些语句的简写符号。

符号：如果...那么...

给定两个语句 $P$ 和 $Q$ ， $R:P\Rightarrow Q$ （读作“如果 $P$ 那么 $Q$ ” 或 “ $P$ 蕴含 $Q$ ”）取决于 $P$ 和 $Q$ 的真值，其中这个“右箭头”符号 $\Rightarrow$ 表示“蕴含”。

我们确定 $P\Rightarrow Q$ 真值的方法是编写一个真值表。我们可以通过简单地回顾条件语句的定义来确定真值表的每一行。

{\begin{array}{|c c||c|}\hline P&Q&P\Rightarrow Q\\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&T\\F&F&T\\\hline \end{array}}

如果充分条件导致了陈述的结论，则条件语句为真。这就是为什么第二行给了我们一个错误的真值的結果。这仍然解释了最后两个语句：如果我们有一个错误的假设，但结论是正确的，那么无论哪种方式，都发生了真实的事情，但不是假设的结果。只要结论为真，假设并不一定需要条件语句为真。最后，每当一个错误的假设导致一个错误的结论时，那么这使得条件语句为真，因为错误的东西导致错误的东西本身就是对条件语句的确认。

示例 2.2(a)：一个严格的规则遵循者。

进入或留在某个特定儿童音乐俱乐部的规则共有六条。如果这些规则中至少有一条不适用于学生，他们将被安排到青少年音乐俱乐部（由规则第 5 条涵盖），或者如果年龄未满 12 岁，将获得一个月的宽限期。如果一个人身在儿童音乐俱乐部或青少年音乐俱乐部，则不会实行一个月的宽限期。

为了进入，一个人必须年满 12 岁或更小。
如果一个人年龄大于 12 岁，那么这个人只能教年轻的音乐家。
只有当你每月至少三次演奏 3 级或更高等级的音乐时，3 级或更高等级的音乐才能让你自动获得资格。
在年底通过强制性的音乐理论考试足以维持在儿童音乐俱乐部。
对于年龄大于 12 岁的学生，身在青少年音乐俱乐部是必要的。
在确定等级上以“优异”等级演奏是留在儿童音乐俱乐部所必需的。

下面的项目 (a)-(d) 包含一些情况。根据他们的描述，确定是否有足够的理由将这些人踢出俱乐部（无论暂时或永久）。为以下每个年轻人提供一个理由。否则，说明该个人被允许留下。

(a) 乔治 13 岁，每月三次演奏 3 级或更高等级的音乐。

(b) 米兰达 10 岁，在年底的音乐理论考试中不及格。演奏 2 级音乐，评级为“优秀”。

(c) 卡洛斯通过了音乐理论考试，9 岁。演奏 1 级音乐，评级为“优异”。

(d) 保罗 13 岁，是儿童音乐理论的首席教师。演奏 4 级音乐。

项目 (e)-(f) 要求你回答有关所提供情况的几个问题。回答项目 (e)-(f)。

(e) 是否存在一种情况，使得无法确定学生是否可以留在儿童音乐俱乐部？如果可能，这种情况是什么？

(f) 将规则第 2 条改写为等效的语句，不使用“如果...那么...”形式。

答案:

(a) 乔治被拒绝进入儿童音乐俱乐部，并因未担任教师而被安排到青少年音乐俱乐部。

(b) 米兰达因未能通过音乐理论测试以及未能获得一级音乐的优良评级，被拒绝参加儿童音乐俱乐部一个月。

(c) 卡洛斯可以继续留在儿童音乐俱乐部。

(d) 保罗可以继续留在儿童音乐俱乐部。

解释

更多内容将在稍后添加。

双条件语句

条件语句也有其不同的、不等价的形式。这些语句不等价，因为它们的真值可能不同。注意，仅仅通过交换结论和假设，最终结果就会不同。

{\begin{array}{|c c||c||c|}\hline P&Q&P\Rightarrow Q&Q\Rightarrow P\\\hline T&T&T&T\\T&F&F&T\\F&T&T&F\\F&F&T&T\\\hline \end{array}}

通过这种蛮力方法，我们能够证明这些语句不等价。如果 $P$ 和 $Q$ 都为真，则这两个语句是等价的。然而，这两个语句的真值取决于语句本身。现实生活中的例子很少见。

这里有一个条件语句，它的逆命题为真：“如果一个短语是色彩的，那么它包含半音间隔的音符。”该语句的逆命题是“如果一个短语包含半音间隔的音符，那么该短语是色彩的。”之所以如此，是因为色彩短语，根据定义，使用半音间隔的音符，因此 $P\Rightarrow Q$ （条件语句）和 $Q\Rightarrow P$ （逆命题）都是真的。

在条件语句和逆命题都为真的情况下，你将得到一个双条件语句。

定义：双条件语句

一个双条件语句是一个句子、数学表达式或方程，其中条件语句 $P\Rightarrow Q$ 和逆命题 $Q\Rightarrow P$ 对 $P{\text{ and }}Q$ 的任何组合都为真。

双条件语句要求条件语句为真。因此， $P$ 仅当 $Q$ 。然而，逆命题也为真，因此 $P$ 如果 $Q$ 。因此，我们说一个语句是双条件的，通过说明“ $P$ 当且仅当 $Q$ 。”

符号：双条件语句

双条件语句可以用以下符号表示： $P\Leftrightarrow Q$ （读作“ $P$ 当且仅当 $Q$ ” 或 “ $P$ 等价于 $Q$ ”）。

因为它要求 $P\Rightarrow Q$ 和 $Q\Rightarrow P$ 为真，这意味着中间行将为假。因此，得出以下真值表

{\begin{array}{|c c||c|}\hline P&Q&P\Leftrightarrow Q\\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&F\\F&F&T\\\hline \end{array}}

下一节将详细介绍为什么这是正确的。

稍后将提供更多信息。

条件语句的相关形式

条件语句的相关形式非常重要。但是，一些证明课程忽略了条件语句的不同形式。然而，有时证明条件语句需要证明所有三种相关形式。

定义：逆否命题

逆否命题是通过交换假设和结论形成的句子或数学表达式或等式。它的形式为 $Q\Rightarrow P$ ，其中结论为 $Q$ ，假设为 $P$ ，它们是原始条件语句中的。

定义：逆命题

逆命题是通过否定假设和结论形成的句子或数学表达式或等式。它的形式为 $\neg P\Rightarrow \neg Q$ ，其中结论为 $Q$ ，假设为 $P$ ，它们是原始条件语句中的。

定义：逆否命题

逆命题 是一个句子、数学表达式或方程式，通过否定假设和结论，并将它们否定的陈述互换得到。它具有以下形式： $\neg Q\Rightarrow \neg P$ ，其中结论为 $Q$ ，假设为 $P$ ，它们存在于原始条件语句中。

数学家的工作是测试他们陈述的极限，找出哪些是真哪些是假。

相关陈述中有一些属性并不常被教授。然而，我们认为至少在某种程度上理解这些陈述的存在，以及它们之间可能存在一些逻辑等价关系，是相当重要的。

属性：条件语句和逆否命题在逻辑上是等价的

如果一个条件语句 $P\Rightarrow Q$ 为真，那么逆否命题 $\neg Q\Rightarrow \neg P$ 也为真。

一个很好的方法是通过真值表来理解这个属性。

{\begin{array}{|c c||c||c|}\hline P&Q&P\Rightarrow Q&\neg Q\Rightarrow \neg P\\\hline T&T&T&T\\T&F&F&F\\F&T&T&T\\F&F&T&T\\\hline \end{array}}

希望很明显为什么它们是相关的陈述。因为 $Q$ 的否定和 $P$ 的否定，以及假设和结论的顺序，都要求真值相应地改变。因此，这些陈述在逻辑上是等价的。

逆命题和否命题也可以用同样的方法来证明。

{\begin{array}{|c c||c||c|}\hline P&Q&Q\Rightarrow P&\neg P\Rightarrow \neg Q\\\hline T&T&T&T\\T&F&T&T\\F&T&F&F\\F&F&T&T\\\hline \end{array}}

属性：否命题和逆命题在逻辑上是等价的

如果逆命题 $Q\Rightarrow P$ 为真，那么逆命题 $\neg P\Rightarrow \neg Q$ 也为真。

更多内容将在稍后添加。

组合陈述

在生活中，我们经常需要思考包含两个陈述的陈述的真假。例如，“灯亮着，而且灯灭着”。这个陈述显然是假的。我们怎么知道？因为“而且”这个词。

令 $A$ 为：“灯亮着并且灯关着”。请注意，由于连接词并且，我们可以将一个大的语句分成两个小的语句。因此，令 $P$ 为：“灯亮着”，而 $Q$ 为：“灯关着”。根据英语，"on" 和 "off" 的意思相反。然而，灯泡只能处于亮着或关着的状态。因此，如果 $P$ 为真，则 $Q$ 默认情况下为假。因此， $R$ 为假。

将语句组合在一起的过程在证明中非常有用。由于这些组合本身就是定义的，我们不需要证明它们。最后，由于这种组合完全基于英语，因此可以很容易地确定语句的真假。

基于我们在介绍性示例中所做的事情，让我们概括一下我们所做的。

符号：并且

给定两个语句 $P$ 和 $Q$ ， $R:P\wedge Q$ （读作 $P$ 并且 $Q$ ）的真值取决于 $P$ 和 $Q$ ，其中这个 "∧" 符号 $\wedge$ 表示 "并且"。

假设 $R:P\wedge Q$ 。为了使 $R$ 的真值为 $T$ （真），需要 $P$ 为真并且 $Q$ 为真。如果其中一个为假，或两者都为假，则 $R$ 为 $F$ （假）。这可以通过使用真值表进一步说明。

{\begin{array}{|c c||c|}\hline P&Q&P\wedge Q\\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}

符号：或者

给定两个语句 $P$ 和 $Q$ ， $R:P\vee Q$ （读作 $P$ 或 $Q$ ）的真值取决于至少一个， $P$ 或 $Q$ 的真值，其中这个“vee”符号 $\vee$ 表示“或”。

假设 $R:P\vee Q$ 。为了使 $R$ 的真值为 $F$ （假），则需要 $P$ 为假并且 $Q$ 为假。如果其中一个为真，或两个都为真，那么 $R$ 为 $T$ （真）。这可以使用真值表进一步说明。

{\begin{array}{|c c||c|}\hline P&Q&P\vee Q\\\hline T&T&T\\T&F&T\\F&T&T\\F&F&F\\\hline \end{array}}

通过使用这些连词和真值表，我们可以轻松地确定一个开句何时为真，以及一个语句是真还是假。

示例 2.3(a)：在句子和语句中寻找真值。

阅读下面有人声称对任何 $(a,b)$ 始终为假的开句。

$a$ 为负数， $b$ 为正数，但 $a-b\neq 0$ 。

回答以下 (a) - (c) 项。

(a) 用符号表示法写出这个语句。

(b) 找一个反例。如果可能，有多少个可能的反例存在？如果不可能，请解释原因。

(c) 对于这种组合，有多少个可能的假真值存在？

答案:

(a)

(a<0)\wedge (b>0)\wedge \neg (a-b=0)

(b) 令

b=2

且

a=-1

。

-1-(2)=-3\neq 0

，这是真的。只要

a<0

且

b>0

，这个开句在无数情况下都是假的。

(c) 7。

解释

(a)：因为 $a$ 为负数，所以 $a<0$ 。因为 $b$ 为正数，所以 $b>0$ 。最后，因为 $a-b\neq 0$ ，这意味着 *并非* $a-b=0$ ，所以 $\neg (a-b=0)$ 。根据英语语言，我们知道这些语句彼此协调一致，因此所有语句都以 *和* 连接在一起。 *但* 只是 *和*，只是强调而已。

(b)：解释已在 *答案* 中给出。

(c)：因为有三个变量，并且每个变量都可以是 $T$ 或 $F$ 真值，所以最终的开句可能有 $2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8$ 种可能的真值。最有效的方式是用真值表来检查有多少个可能的开句是假的。

{\begin{array}{|c c c||c||c||c|}\hline P&Q&R&P\wedge Q&\neg R&P\wedge Q\wedge \neg R\\\hline T&T&T&T&F&F\\T&T&F&T&T&T\\T&F&T&F&F&F\\T&F&F&F&T&F\\F&T&T&F&F&F\\F&T&F&F&T&F\\F&F&T&F&F&F\\F&F&F&F&T&F\\\hline \end{array}}

更多内容将在稍后添加。

逻辑等价

更多内容将在稍后添加。

符号逻辑

更多内容将在稍后添加。

量词

更多内容将在稍后添加。

证明数学性质

应用实数定律验证和证明数学性质

示例 3.1(a): 验证

{\frac {a+b}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}

，其中

c\neq 0

.

验证是一项简单的任务，因为你只需要重写上面的等式，只改变一边。因为只有一边改变，你可以对该边应用一系列传递性质，直到你达到最终的结论：一个简单的语句作为等式本身的属性。这可能比解释更容易展示，所以只需跟着我们一起做就可以了。

(3.1.1.1) ${\frac {a+b}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$

根据除法的定义， ${\frac {a}{c}}=a(c)^{-1}$ 。由于这对右表达式中找到的每个除法都适用，(3.1.1.1) 可以改写为以下形式

(3.1.1.2) ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}=a(c)^{-1}+b(c)^{-1}$

注意等式右边每一项都包含一个因子 $c^{-1}$ 。因为这是真的，所以等式右边也有以下结论。

(3.1.1.3) $a(c)^{-1}+b(c)^{-1}=c^{-1}(a+b)$

根据除法的定义，等式右侧等效于 ${\frac {a+b}{c}}$ ，所以

(3.1.1.4) $c^{-1}(a+b)={\frac {a+b}{c}}$

注意此处的等式链如何与每个等式连接。由于 (3.1.1.3) 和 (3.1.1.4) 成立，我们知道以下等式成立

(3.1.1.5) $a(c)^{-1}+b(c)^{-1}={\frac {a+b}{c}}$

因为 (3.1.1.2) 和 (3.1.1.5) 成立，我们知道以下等式成立，依此类推

(3.1.1.6) ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$

(3.1.1.7) ${\frac {a+b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$

如 (3.1.1.7) 所示，我们已经验证了该命题的真值，因此问题得到解决。以下的“等式链”也许可以展示这种“仅改变一侧”的链式变化。

{\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}\\&=a(c)^{-1}+b(c)^{-1}&{\text{Definition of fractions.}}\\&=c^{-1}(a+b)&{\text{Factor }}c^{-1}{\text{ from }}a(c)^{-1}+b(c)^{-1}{\text{.}}\\&={\frac {a+b}{c}}&{\text{Definition of fractions.}}\end{aligned}}

重要的是要注意上述示例中提示中出现的指令动词的语言。要求考生进行“验证”，实际上是对考生理解如何仅通过有效地改变一侧来使某个陈述“成立”的测试。

在上面的示例中，我们决定改变等式 (3.1.1.1) 的右侧。这里有一个问题要问读者：“为什么我们决定只改变那一侧？”如果你能在接下来的两个示例之前精确地回答这个问题，那么就可以推断出这位学生理解如何验证文字方程。

注意：尽管这是一个重要的技能，但在选择题考试中不可能展示这种理解能力。然而，数学家的旅程是对所做陈述的怀疑。如果你不知道证明或验证，你就不能完全认为一个陈述是正确的。

例 3.1(b)：在

12x-12=11x

中验证

x=12

。

此方程不是文字方程，因此不需要只改变一侧来变成另一侧。然而，也不需要求解这个一元一次方程。相反，最简单的方法可能是直接将 $x=12$ 代入上述方程。我们将这样做。

12(12)-12=11(12)

144-12=132

132=132

由于等式两边相等，我们已经验证了 $x=12$ 是正确的。

稍后会添加一个额外的例子。

例 3.1(d): 证明

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}

，其中

ac\nmid bd

，

bd\neq 0

，

a,b,c,d\in \mathbb {Z}

，以及

\gcd(b,d)=1

。

这个问题与之前的问题略有不同，因为考生需要通过给定信息来证明某些东西是正确的，并且通过从基本属性推导出不同的公式和方程式来证明某些东西是正确的。这里测试的是数学表达的重要性。数学家需要描述给定的信息，否则证明将不会以演绎推理的形式逻辑地进行。

我们不能沿用之前两个问题的策略。这是因为我们试图传达的是，一个陈述是毫无疑问的真理！对于验证，我们可以假设最终的陈述是正确的，并因此从我们开始的地方反向推导。但是，当证明某些东西时，我们必须表明，当只给出一种陈述时，我们可以完全推导出另一边，而无需从我们开始的地方反向推导。理解这种区别至关重要！

让我们首先从将表达式 ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}$ 改写成等效形式开始

(3.1.1.8) ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}=a(b)^{-1}\cdot c(d)^{-1}$

请注意，我们可以应用乘法的一个性质，即实数（以及扩展到整数）的乘法是结合的。因此，我们可以将 (3.1.1.8) 改写为以下形式

(3.1.1.9) $a(b)^{-1}\cdot c(d)^{-1}=a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1}$

(3.1.1.9) 包含项 $b^{-1}d^{-1}$ 。我们可以应用一个性质（在指数章节中证明过），即 $b^{-1}\cdot d^{-1}=(bd)^{-1}$ 。因此，我们了解到

(3.1.1.10) $a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1}=ac\cdot (bd)^{-1}={\frac {ac}{bd}}\blacksquare$

至此，我们完成了证明。

这里，证明和验证之间存在一个非常细微的差别。如果要求我们验证上面的陈述，我们会假设这里给出的信息是正确的，并且只改变一边。但是，请注意我们在例 3.1.d中如何开始证明的：“让我们首先从改写表达式开始……”

在证明中，从结论开始绝对是错误的，不应该允许，因为这种论证是循环的！在处理演绎证明时，我们从给定的信息开始，并尝试从我们开始的地方推导出一个真实的陈述。这是演绎证明的基本性质之一。

通常，在证明中，尤其是在演绎证明中，有两种必须牢记的原则，这对进一步理解的发展至关重要：一个“普遍命题”，例如定理或定义，将蕴涵一个“单一命题”，例如前提、结论或中间结论。要么就是，一个单一命题蕴涵另一个单一命题。

在这个证明中，前者是正确的（一个普遍命题蕴含了一个单一命题）。通过这样的操作，我们可以验证这个证明的有效性。虽然人们可能不会将此称为严格意义上的正式证明，但这样的证明确实是根据经过验证的公理推导出来的，而且由于这些公理是正确的，并且导致了真值语句，所以这个证明是有效的。

随着学生进一步探索数学，证明原理和证明的形式化在数学家的一生中将变得非常重要。在探索这些概念时，更深入的理解将必不可少，其中需要进一步考察逻辑，对不同类型的证明进行分类、解释和使用，有时思考几乎没有延迟。

虽然本书并非旨在进一步探索或解释一般的证明，但本书确实试图在学生进入离散数学课程之前，进一步巩固他们对这些概念的基础。

例 3.1(e)：证明

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}

，其中

(ab+cd)\nmid bd

，

bd\neq 0

，

(a,b,c,d)\in \mathbb {Z}

，以及

\gcd(b,d)=1

.

让我们首先从给定的条件开始： ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$ 。证明中常用的一个技巧是找到一种方法来改变表达式，使我们更容易操作，而不会改变表达式本身的意义。例如，如果有人想要找到 $2x+5=10$ 的解，人们可能想要隔离变量 $x$ 。然而，如果 5 挡在中间，就无法做到这一点，所以人们可以减去 5。这将改变等式的意义，除非它也被应用到等式的另一边。

同样的原理也可以应用到证明中。以下是数学家使自己更容易操作的一些常用方法。令 $xyz$ 为一个感兴趣的表达式

人们可以对 $xyz$ 平方，然后开平方根： $xyz={\sqrt {(xyz)^{2}}}$ .
人们可以取 $xyz$ 的自然对数，然后在指数中使用底数 $e$ ： $xyz=e^{\ln(xyz)}$ .
人们可以给 $xyz$ 加上一个常数，然后再次减去该常数： $xyz=xyz+c-c$ .
可以将一个常数 $xyz$ 乘以一个常数，然后将常数除掉： $xyz=xyz\cdot {\frac {c}{c}}$ 。

最后一个要点将是我们在这个证明中使用的技巧。毕竟，我们处理的是分数。但是，这个常数不能只是一个数字。我们要聪明一点，选择一个能消除某些项的数字。从长远来看，这将使我们的生活更轻松。

首先，我们从陈述等式公理开始（一个项目必须等于它本身）

(3.1.1.11) ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$

从那里，我们将 ${\frac {bd}{bd}}$ 乘以右侧。毕竟，这将简化为 (3.1.1.11)，所以没有任何变化。

(3.1.1.12) ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}=\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right){\frac {bd}{bd}}$

接下来，将分配律应用于 (3.1.1.12) 的右侧。

(3.1.1.12) $\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right){\frac {bd}{bd}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {bd}{bd}}+{\frac {c}{d}}\cdot {\frac {bd}{bd}}$

这是证明中的特殊部分。请注意，有两个项，其中两个分数分别乘以另一个分数。我们可以使用我们在 示例 3.1.d 中证明的性质。

(3.1.1.13) ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {bd}{bd}}+{\frac {c}{d}}{\frac {bd}{bd}}={\frac {a\cdot {\color {Red}b}d}{{\color {Red}b}\cdot bd}}+{\frac {c\cdot b{\color {Red}d}}{{\color {Red}d}\cdot bd}}$

与之前一样，我们将所有以红色显示的项标记为可以约分的项。我们将把这作为一项简单的练习留给读者去证明它是正确的。这给了我们下面的方程。

(3.1.1.14) ${\frac {a\cdot bd}{b\cdot bd}}+{\frac {c\cdot bd}{d\cdot bd}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}$

我们可以将 (3.1.1.14) 最右侧重写为 $ad{\color {Blue}(bd)^{-1}}+bc{\color {Blue}(bd)^{-1}}$ 。可分解的项以蓝色显示。因此，我们知道以下内容可以重写为最终方程。

(3.1.1.15) ${\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}=(bd)^{-1}(ac+bc)={\frac {ad+bc}{bd}}\blacksquare$

上面所有的论证可以浓缩成以下简洁的论证

{\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}&={\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}&({\text{Equality postulate.}})\\&=\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right){\frac {bd}{bd}}&\left({\frac {bd}{bd}}=1\right)\\&={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {bd}{bd}}+{\frac {c}{d}}\cdot {\frac {bd}{bd}}&({\text{Distributive property.}})\\&={\frac {abd}{b\cdot bd}}+{\frac {cbd}{d\cdot bd}}\\&={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}\\&=ad(bd)^{-1}+bc(bd)^{-1}\\&=(bd)^{-1}(ad+bc)&\left({\text{Factor }}(bd)^{-1}{\text{.}}\right)\\&={\frac {ad+bc}{bd}}\blacksquare \end{aligned}}

将实数定律应用于推导出新的数学性质

证明不仅对代数语句有用，而且对一般的数学性质也很有用。这些性质可能比代数语句更实用，因为实数定律本身总是正确的。虽然实证证据能满足科学家，但数学家在这方面有所不同。

如果我们发现某个地方存在数学“性质”为假的情况，那么我们需要修改该陈述。从那时起，我们需要对其他使用该性质的项目进行相同的修改，其中可能包括绝对陈述，例如定理。如果特定位置失效，并且该特定位置是证明的关键，那么该定理的证明将自动失效。我们不希望这种“多米诺骨牌效应”发生，因此我们必须通过演绎（或归纳，我们不会讨论）来证明陈述的真实性。

让我们再次看看除法性质。

示例 3.2(a)：检查下面列出的两个除法性质。尝试找出证明中可能存在的错误。