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绝对收敛与条件收敛

绝对收敛和条件收敛适用于所有级数，无论级数是否所有项都为正，或者有些项为正有些项为负（但级数不需要是交替级数）。

具有正项和负项（包括交替级数）的级数的一个独特之处在于绝对收敛或条件收敛的问题。一旦确定了级数的收敛性，那么确定级数绝对值的收敛性就可以告诉你它是绝对收敛还是条件收敛。形式上，它看起来像这样。

绝对收敛与条件收敛的定义

假设$\textstyle {\sum {a_{n}}}$是一个收敛级数。

• 如果$\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$收敛，则$\textstyle {\sum {a_{n}}}$绝对收敛。

• 如果$\sum {\left|a_{n}\right|}$发散，则$\sum {a_{n}}$条件收敛。

这是一个以略微不同的方式总结这些概念的表格。

$\textstyle {\sum {a_{n}}}$	$\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$	结论
收敛	收敛	$\textstyle {\sum {a_{n}}}$绝对收敛
收敛	发散	$\textstyle {\sum {a_{n}}}$条件收敛

有一点需要注意的是，所有正项级数都绝对收敛，因为对于所有$n$，$a_{n}=|a_{n}|$。

绝对收敛定理

该定理利用了上表的第一行，这使得我们可以考虑正项级数的散度。

如果级数$\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$收敛，则级数$\textstyle {\sum {a_{n}}}$也收敛。

或者，可以先确定级数绝对值的收敛性。然后，如果级数的绝对值收敛，则可以使用绝对收敛定理来说明交错级数也收敛，并且是绝对收敛的。

此外，如果有一个级数包含一些负项（但不是全部），并且它不是交错级数，则可以使用该定理来确定收敛性。具体来说，如果级数的绝对值收敛，则该级数将收敛。请注意，该定理没有说明散度，因此如果该定理不成立，则不能对收敛或散度做出任何假设。

理解定理

让我们了解一下为什么这个定理有效。首先，让我们考虑一下级数$\sum {a_{n}}$，它包含正项和负项。当我们把这些项加起来时，我们将添加一些正项并减去其他项（负项）。将其与级数$\sum {\left|a_{n}\right|}$进行比较。在这个级数中，我们边加边求和，即我们添加所有正项，然后在添加负项之前先取它们的绝对值。因此，这个级数的每个部分和都大于前一个级数的部分和。因此，当我们继续计算部分和时，我们可以说第二个和大于第一个和。所以如果较大的和收敛，较小的和也必须收敛。

这里有一个简单的例子，应该可以让你直观地感受到这一点。
对于这个有限的交错级数$1-2+3-4+5=3$。
现在计算该级数的绝对值，得到$1+2+3+4+5=15$
如果我们总是相加而不是相减，那么绝对值级数的和将始终更大。在无限和的情况下，如果较大的级数收敛，那么较小的级数也必然收敛。
注意 - 这不是该定理的正式证明。它只是一个让你对它有感觉的例子。

视频推荐

这段视频剪辑对绝对收敛进行了很好的讨论，包括使用一些例子。请注意，他没有使用条件收敛这个术语。相反，他只是说这个级数不是绝对收敛的。
交错级数和绝对收敛

这是一个关于绝对收敛和条件收敛的另一个简短视频剪辑[2分钟]解释。
绝对收敛、条件收敛和发散

条件收敛无限级数的怪异结果

你可能已经知道，当你开始处理无限的数字时，就会发生奇怪的事情。对于条件收敛的无限级数来说，情况肯定如此。奇怪的是，当你重新排列求和时，你可以得到级数收敛到的不同值，即数字的交换律不成立！哇！

事实上，你不仅可以得到不同的值，还可以重新排列一个条件收敛的无限级数，以得到我们想要的任何数字，包括零和无穷大！这被称为黎曼级数定理。
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