微积分

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微积分

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• 简介
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• 资源

预备微积分

1.1 代数

1.2 函数

1.3 三角函数

1.4 函数图形

1.5 有理函数

1.6 圆锥曲线

1.7 练习

1.8 双曲对数和角度

极限

2.1 极限简介

2.2 有限极限

2.3 无限极限

2.4 连续性

2.5 极限的形式定义

2.6 一些基本极限规则的证明

2.7 练习

微分

微分基础

3.1 微分的定义

3.2 乘积法则和商法则

3.3 三角函数的导数

3.4 链式法则

3.5 高阶导数：二阶导数简介

3.6 隐函数微分

3.7 指数函数和对数函数的导数

3.8 双曲函数的导数

3.9 一些重要定理

3.10 练习

导数的应用

3.11 洛必达法则

3.12 极值和拐点

3.13 牛顿法

3.14 相关变化率

3.15 优化

3.16 欧拉方法

3.17 函数值逼近

3.18 练习

积分

函数 f(x) 从 x=0 到 x=a 的定积分等于曲线从 0 到 a 的面积。

积分基础

4.1 定积分

4.2 微积分基本定理

4.3 不定积分

4.4 反常积分

积分技巧

从下到上:

• 加速度函数 a(t);
• 加速度的积分是速度函数 v(t);
• 速度的积分是距离函数 s(t)。

4.5 无穷级数

4.6 导数规则和换元法

4.7 分部积分法

4.8 三角代换法

4.9 三角积分

4.10 部分分式分解法

4.11 半角正切代换法

4.12 降阶公式

4.13 无理函数

4.14 数值逼近

4.15 练习

积分应用

4.16 面积

4.17 体积

4.18 旋转体的体积

4.19 弧长

4.20 表面积

4.21 功

4.22 质心

4.23 压力和力

4.24 概率

参数方程和极坐标方程

参数方程

5.1 参数方程简介

5.2 参数方程的微分

5.3 参数方程的积分

极坐标方程

5.5 极坐标方程简介

5.6 极坐标方程的微分

5.7 极坐标方程的积分

数列和级数

数列

6.1 数列的定义

6.2 数列

级数和检验方法

6.3 级数的定义

6.4 级数

6.5 发散检验

6.6 比值检验

6.7 极限比较检验

6.8 直接比较检验

6.9 积分检验

收敛性

6.10 绝对收敛和条件收敛

级数与微积分

6.11 泰勒级数

6.12 幂级数

6.13 莱布尼茨公式

练习题

6.14 练习题

多元微积分

这是使用三维球坐标系计算给定形状体积的示例

多元微积分导论

7.1 向量

7.2 空间曲线和曲面

7.3 向量函数

7.4 多元微积分导论

微分

7.5 极限与连续性

7.6 偏导数

7.7 链式法则和克莱罗定理

7.8 链式法则

7.9 方向导数和梯度向量

• 多元优化：拉格朗日乘子
• 矩阵微积分

7.10 多元函数的导数

7.11 反函数定理，隐函数定理 (可选)

积分

7.12 多重积分

• 旧: 二重积分

7.13 变量替换

向量微积分

7.14 向量微积分

7.15 向量微积分恒等式

7.16 向量微积分算子的反演

7.17 点、路径、曲面和体积

7.18 亥姆霍兹分解定理

7.19 向量微积分的离散模拟

7.20 练习

微分方程

8.1 常微分方程

8.2 偏微分方程

扩展

高级积分技巧

9.1 复化积分

进一步分析

9.2 常微分方程组

微积分的形式理论

9.3 实数

9.4 复数

9.5 双曲角

参考文献

• Lester R. Ford, Sr. & Jr. (1963) 微积分, McGraw-Hill via HathiTrust
• w:Mellen W. Haskell (1895) 关于引入双曲函数的概念 美国数学会通报 1(6):155–9.

• 三角函数表
• 求和符号
• 导数表
• 积分表