微积分/直接比较检验

直接比较检验

直接比较检验 (DCT) 有时简称为比较检验。但是，就像我们在这里做的那样，许多书籍在名称中包含“直接”一词，以明确区分此检验与极限比较检验。

一些讲师会告诉你，这个检验非常基础且直观，但对于许多学生来说，一开始可能难以理解和使用。但是，一旦掌握了，它就是一个非常强大的检验，并且比极限比较检验更容易使用，因为我们不需要计算极限。

关键 - - 关键是正确建立不等式。只有在选择一个检验级数并知道该检验级数的收敛/发散性之后才能做到这一点。

首先，我们介绍直接比较检验的定义，然后解释每个部分。

直接比较检验定义

对于级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 和检验级数 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，其中 $t_{n}>0$

收敛 为了证明 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 的收敛性，$\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 必须收敛，并且 $0<a_{n}\leq t_{n}$

发散 为了证明 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 的发散性，$\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 必须发散，并且 $0<t_{n}\leq a_{n}$

直接比较检验快速笔记

用于证明收敛	是
用于证明发散	是
可能不确定	否

1. 请注意，我们没有指定 $n$ - 求和中的值。这在微积分中很常见，它只是意味着，对于这个检验，级数从哪里开始并不重要（但它总是“结束”于无穷大，因为这是一个无穷级数）。
2. $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是我们要确定收敛或发散的级数，它在题干中给出。
3. $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 是您选择的用于比较的检验级数。
4. 在使用此检验的过程中，您可能需要找到一些真实的、有限的值 $N>0$，其中不等式对于所有 $n\geq N$ 成立。
5. 在建立不等式时要小心。根据您假设收敛还是发散，建立方式有所不同。
6. 使用此检验的一个细微区别，隐含在上一个定义中的不等式中，即 $a_{n}>0$ 。因此，请注意不要对交替级数或包含任何负项的级数使用此检验。
7. 一些教师可能会说这个检验可能不确定。这是不正确的。如果可以找到有效的检验级数，并且可以证明不等式，则此检验将始终告诉您级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收敛还是发散。有时无法找到有效的检验级数，或者无法证明不等式，但这并不意味着 DCT 不确定。

如何使用直接比较检验

使用此检验主要包括三个步骤。

步骤 1	选择检验级数
步骤 2	建立不等式
步骤 3	证明不等式成立

这个检验最难的一点是，看起来您似乎需要在使用检验之前就已知级数收敛还是发散。它有助于您对它有所了解（并且随着练习的增多，您将随着时间的推移而形成这种感觉），但是如果您不知道，您可以猜测。如果您在尝试证明不等式成立时遇到了死胡同，请尝试证明另一个方向。您将在下面的步骤 1 中找到更多关于此方面的建议。

让我们看看每个步骤的细节。

步骤 1 - 选择检验级数

当您第一次学习这种技术时，它看起来像是检验级数凭空出现，您只是随机选择一个，然后看看它是否有效。如果无效，您就会尝试另一个。这不是选择检验级数的最佳方法。我发现的最佳方法是使用您被要求使用的级数，并使用它来创建检验级数。有一些因素需要考虑。

第一个关键是选择一个您知道收敛或发散的检验级数，并且它可以帮助您获得有限的正极限。

思路 1：如果分数的分子和分母中都有多项式，请只保留最高次项（在两部分中），并简化。丢弃任何常数。最终得到的结果可能是一个很好的比较级数。这样做有效的原因是，当 $n$ 越来越大时，最高次项占主导地位。您通常会得到一个 p 级数，您知道它收敛或发散。

思路 2：选择一个 p 级数或几何级数，因为您可以立即判断它收敛还是发散。

思路 3：如果您有一个正弦或余弦项，您始终可以保证结果小于或等于 1 并且大于或等于负 1。如果您对角度没有任何限制，那么这就是您能做的最好的。所以用 1 替换正弦或余弦项。

想法 4： 如果你有一个自然对数，可以使用以下事实 $\ln(n)\leq n$ 对于 $n\geq 1$，用 $n$ 替换 $\ln(n)$，或者使用 $\ln(n)\geq 1$ 对于 $n\geq 3$.

当你对这个测试有了经验，选择一个好的测试序列就会变得更容易。所以要做大量的练习题。

你需要在直接比较测试中考虑的另一件事是，与极限比较测试不同，你需要直觉地判断序列 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收敛还是发散。这需要一定程度的经验，因为它决定了你如何设定不等式。但你可以通过观察你得到的测试序列来猜测。如果它发散，那么你的序列也可能发散。同样地，如果测试序列收敛，那么你想要测试你的原始序列的收敛性。

没有选择测试序列的通用规则，但随着一些经验的积累，你将开始看到模式，我们将会展示一些例子并解释如何选择测试序列（许多/大多数书籍中都省略了这一点）。

步骤 2 - 建立不等式

如果你有一个序列 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$，并且你选择了一个测试序列 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，那么你可以用两种方法之一来建立不等式

收敛	发散
如果你假设收敛，测试序列也必须收敛，你需要证明的不等式是 $0<a_{n}\leq t_{n}$.	如果你假设发散，测试序列必须发散，你需要证明的是 $0<t_{n}\leq a_{n}$.

这里有一个关于如何考虑不等式方向的想法。如果你认为你正在处理的序列发散，你想要选择一个发散的测试序列，该序列比你正在处理的序列更小。你可以将这个更小的测试序列视为随着 $n$ 的增加而“向上推”你的序列，并且由于小的序列发散，你的序列不可能收敛，因为它总是被推向无穷大。

但是，如果你认为你的序列收敛，那么你需要选择一个比你的序列更大的收敛测试序列。然后，你可以将测试序列视为随着 $n$ 的增加而“向下压”你的序列，不使其趋向于无穷大。

步骤 3 - 证明不等式成立

一旦你建立了不等式，你需要证明不等式对所有大于某个 $n$ 的 $N$ 成立。根据不等式的不同，有多种技术可以做到这一点，其中一种应该能行。

技术 1 - 直接法

在这种情况下，建立不等式并进行代数运算，直到你得到一个始终成立的不等式。例如，我们可以证明 $n\leq n+2$，方法是两边都减去 $n$，得到 $0\leq 2$。最后一个不等式始终为真。

注意：在平方和开平方（偶数根）时要小心。得到的不等式可能并不相等。

技术 2 - 证明不等式始终为正

如果直接方法不可行，尝试将所有项移到一边，另一边留下零，然后解释表达式如何始终为正。例如，如果我们能得到类似于 $0\leq \displaystyle {\frac {n+5}{n^{3}}}$ 的东西，我们可以争论说，由于 $n$ 始终为正，分子和分母都为正，导致右边始终大于零。这里要记住的关键是 $n$ 从零或一开始，之后始终为正。

如果能找到一个值 $N$ 使表达式对所有 $n\geq N$ 成立，此技术也有效。类似于最后一个例子，我们可以使用此参数来证明不等式 $0\leq \displaystyle {\frac {n-5}{n^{3}}}$，方法是说当 $n\geq 6$ 时，不等式成立。

技术 3 - 使用斜率

第三种技术是使用斜率的概念，它最好通过一个例子来演示。让我们用斜率来证明 $n\geq \ln(n)$。

关于斜率，首先要记住的是，要找到斜率，你需要求导数，而导数只在连续函数上定义。在本例中，$n$ 是离散的（$n$ 取值为 1, 2, 3, 4, ...，但没有这些数字之间的值），因此我们需要找到在离散值处具有相同值的连续函数。我们并不关心在离散值之间发生了什么，只要函数是连续的。所以对于 $n$，我们可以使用 $f(x)=x$，而对于 $\ln(n)$，我们可以使用 $g(x)=\ln(x)$，其中 $x$ 是两个函数中的连续变量。现在我们有了连续函数，因此可以求导数。我知道这是一个细节问题，但我们需要把它弄清楚。

好的，我们需要证明对于所有大于某个值的 $x$，$x\geq \ln(x)$。我们把 $f(x)=x$ 和 $g(x)=\ln(x)$。如果我们能够证明对于某个特定的 $x$ 值，$f(x)\geq g(x)$，并且 $f(x)$ 的斜率大于 $g(x)$ 的斜率，那么 $f(x)$ 将始终大于 $g(x)$。两条曲线将永远不会相交，不等式 $x\geq \ln(x)$ 将成立。你可以在这个图中 直观地 看到这一点（但你不能用这个图来证明这一点）。

让我们看看我们是否能证明这一点。首先，我们知道当 $x=1$ 时，$f(1)=1$ 并且 $g(1)=0$。由于 $1\geq 0$，我们已经确定了一个点（$x=1$），在这个点上 $f(x)\geq g(x)$。现在我们将用斜率来证明这些函数对于所有 $x>1$ 都保持这种关系。

对函数求导，得到 $f'(x)=1$ 和 $g'(x)=1/x$。我们需要证明 $f'(x)\geq g'(x)$

       $\displaystyle {\begin{array}{rcl}f'(x)&\geq &g'(x)\\1&\geq &1/x\\x&\geq &1\end{array}}$

现在，因为 $x$ 总是大于或等于 $1$，则 $f(x)$ 的斜率总是大于 $g(x)$ 的斜率。这意味着 $f(x)$ 的增长速度快于 $g(x)$，因此始终大于 $g(x)$。

这表明 $x\geq \ln(x)$。

回顾一下，我们所做的是找到了一个点，$x=1$，该点满足不等式。然后我们利用斜率来证明不等式对于所有大于该值的值都成立。

如果不等式不成立怎么办？

如果你无法证明不等式，那么你需要选择一个不同的测试级数或尝试其他测试。使用直接比较测试需要练习和时间来消化，才能理解它并使用它。

如果不等式不成立，并不意味着直接比较测试不能使用。我们可能只需要选择一个不同的测试级数。一个建议是通过计算器绘制级数或使用其他测试来了解级数的外观。然后看看你是否可以推断出一个更小或更大的级数，以便得出另一个测试级数。

如何**不**使用直接比较测试

学生尝试使用直接比较测试时，有两种主要方法是行不通的。

1. 使用 $n$ 的前几个值构建表格来证明不等式对于所有 $n$ 都成立。一定要非常小心，不要使用这种技术。它是一个陷阱，老师会注意到的。

2. 不正确地设置不等式。本节的其余部分将展示这一点并解释为什么它不起作用。

以下是如何**不**使用直接比较测试，即当不等式设置不正确时，该测试不起作用。

在一个视频中，演示者观察了例子 $\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln(n))^{2}}}}$ 来证明你不能使用直接比较测试，通过将它与 $\displaystyle {\sum {\frac {1}{n^{3}}}}$ 进行比较来证明收敛。当这种情况发生时，你有两种选择。

1. 你可以选择一个不同的测试级数。

2. 你可以尝试其他测试。

在这个例子中，这两种选择都可以。

1. 将该级数与 $\displaystyle {\sum {\frac {1}{n^{2}}}}$ 进行比较。

2. 使用积分测试或极限比较测试。

无论你使用什么测试，该级数都收敛。

学习提示

在学习本测试时，绘制正在发生的事情的图表可能对您有所帮助。虽然这在一般情况下是一个很好的技术，但它将特别有助于您进行本测试，因为不等式最好在图表中显示。您甚至不需要特定的函数。您只需绘制高于和低于测试函数的通用函数即可。

小心！绘制和代入值不是证明任何级数收敛或发散的有效方法。讲师会预料到这一点，并且经常会在考试中提出用这种方法得出错误答案的问题。

视频推荐

如果您想学习关于直接比较检验的完整课程，这是一个很好的视频片段。请注意，他将此称为比较检验，省略了直接一词。您只需要观看前 40 分钟 12 秒。之后他会讨论极限比较检验。

这里有一个简短的视频，解释了这个检验。

此视频的前五分半钟很好地解释了直接比较检验。

此视频的前两分钟也包含对直接比较检验的良好解释。

此视频片段很重要，因为它展示了几乎每个学生在使用此检验时都会遇到的一个陷阱，并且大多数老师会注意这个陷阱。

应用于反常积分

即使您还没有接触过反常积分，此视频也非常值得观看，因为它可以帮助您可视化直接比较检验。您不需要了解反常积分就能从这个视频中获得很多东西。

示例集 1 - 发散检验

使用发散且单调的调和级数$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$来确定$\textstyle {\sum {a_{n}}}$是否发散，如果可能，对于以下每个级数。

示例 1.1

$a_{n}={\frac {1}{n-1}}$

由于我们假设发散，我们需要建立的不等式是$0<t_{n}\leq a_{n}$，其中$a_{n}={\frac {1}{n-1}}$ 和 $t_{n}={\frac {1}{n}}$。由于 $n>0$，$t_{n}=1/n$ 也大于零，因此不等式的左半部分成立。所以我们只需要证明不等式的右半部分。

 ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\\n-1&\leq &n\\-1&\leq &0\end{array}}$

这个最后的不等式对所有$n$都成立。因此，该级数根据直接比较检验发散。

这是一个如何选择测试级数的很好的例子。当 $n$ 变得非常大时，常数变得可以忽略不计。因此，有时可以通过删除常数来选择测试级数。当然，这并不总是奏效，下一个示例就说明了这一点。

示例 1.2

$a_{n}={\frac {1}{n+1}}$

与前面的示例一样，我们只需要证明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\\n+1&\leq &n\\1&\leq &0\end{array}}$

然而，这永远不会是正确的，因此这个测试序列不能使用。（一些老师可能会说这意味着 DCT 不确定，但实际上，这不是一个有效的测试序列来证明发散。）带有 $t_{n}={\frac {1}{2n}}$ 的测试序列将是更好的比较测试。

示例 1.3

$a_{n}={\frac {3}{n}}$

与前两个例子一样，我们只需要证明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {3}{n}}\\n&\leq &3n\\1&\leq &3\end{array}}$

最后一个不等式对所有 $n$ 成立。因此，该级数根据 DCT 发散。

示例 1.4

$a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

与前两个例子一样，我们只需要证明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\\{\sqrt {n}}&\leq &n\\n&\leq &n^{2}\\0&\leq &n^{2}-n\\0&\leq &n(n-1)\end{array}}$

最后一个不等式对所有 $n\geq 2$ 成立。因此，该级数根据 DCT 发散。

这里需要说明两点。

1. 请注意，我们需要找到一个值 $N=2$，使得不等式对所有值 $n\geq N$ 成立。
2. 虽然一般来说，对不等式的两边同时平方并假设它是一个有效的操作不是一个好主意，但它在这里有效，因为 $n$ 始终大于 1。

示例 1.5

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

与前两个例子一样，我们只需要证明不等式的右半部分成立。

${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\n^{2}&\leq &n\\n^{2}-n&\leq &0\\n(n-1)&\leq &0\end{array}}$

最后一个不等式并非对所有大于某个 $N$ 的 $n$ 成立，即当 $n$ 大于 1 时，最后一个不等式不再成立。因此，这个测试序列不能用于使用 DCT 证明发散。

请注意，DCT 仍然可以用于这个级数，但由于该级数收敛，如果我们想要使用 DCT，则需要另一个测试级数。

示例集 2 - 收敛性测试

使用收敛且单调的级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 判断以下每个级数是否收敛，如果可以的话。

例 2.1

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

$n^{-2}$ 的下降速度比 $2^{-n}$ 快。但是，这些级数不满足 $0\leq z_{n}\leq s_{n}$ 的要求，因为当 $n<2$ 时，$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 比 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 大。我们可以通过从两个级数中删除第一项来解决这个问题，得到 $1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 和 $2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。现在，将 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 与 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 进行比较表明 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 确实收敛。由于它收敛，添加原来的 $1$ 不会改变它是否收敛，只会将收敛值增加 $1$。

例 2.2

$a_{n}=e^{-x}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-x}}$ 小于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 对所有 $n$，所以这个级数是收敛的。

示例 2.3

$a_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}(x)}$ 小于或等于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 且大于 $0$ 对定义域中的每个 $n$；这是因为 $\sin ^{2}(x)$ 符合 </math>\frac{1}{2^n}</math>，并且 $\sin(x)$ 被平方意味着它永远不会小于零。

示例 2.4

$a_{n}={\frac {2}{2^{n}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{2^{n}}}$ 是收敛的。注意到这只是 $2\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，这只是 $2$ 乘以某个有限数。

示例 2.5

$a_{n}={\frac {1}{1.5^{n}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}$ 大于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 对于无限多的 $n$。所以这个测试级数不能用来测试收敛性。

示例 2.6

$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}$

这个级数有负项，所以这里不能使用 DCT。

直接比较检验练习题

带有书面解答的练习题

如果可能的话，使用直接比较检验确定以下级数的收敛或发散。如果 DCT 不确定，请使用其他检验来确定收敛或发散。确保在最终答案中指定使用了什么检验。

1. $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)-1}}$

提示

选择 $\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n\ln(n)}}}$

答案

该级数根据 DCT 发散。

解决方案

我们将使用直接比较检验，并将该级数与 $\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)}}}$ 进行比较。 这是选择比较级数的一种非常普遍的方法。 由于常数无论其值如何，与非常非常大的数字相比都变得可以忽略不计，因此我们通常可以将其删除并使用结果作为测试级数。 这并不总是有效，当然，它取决于测试级数是否收敛或发散，但这是一个良好的起点。
测试级数在积分检验页面上作为练习题显示为发散的。 因此，我们只需要证明 $t_{n}<a_{n}$ 对于所有 $n>2$。
${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)}}&<&\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)-1}}\\n\ln(n)-1&<&n\ln(n)\\-1&<&0\end{array}}$
由于最后一个不等式对所有$n$成立，则第一个不等式也成立，因此$t_{n}<a_{n}$对所有$n>2$成立。
因此，根据直接比较检验，由于检验级数发散，且其项小于原级数的项，因此原级数也发散。

2. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\cos(n))^{3}}{n^{2}+n+1}}$

提示

选择$t_{n}=1/n^{2}$，并使用绝对收敛定理将$\cos(n)$替换为$|\cos(n)|$，以使项为正值。

答案

该级数根据 DCT 收敛。

解决方案

步骤 1 - 选择检验级数

首先，让我们看一下分母多项式 $n^{2}+n+1$. 当 $n$ 变得非常大的时候，$n^{2}$ 项将支配另外两项。因此，我们将删除 $n+1$，只留下 $n^{2}$ 在分母中。现在，让我们看一下分子。没有简单的方法来确定 $(\cos(n))^{3}$ 当 $n$ 趋于无穷大时会做什么。本质上，它在 $-1$ 和 $+1$ 之间振荡。

然而，我们知道 $\cos(n)\leq 1$，并且 $(\cos(n))^{3}\leq 1$。现在，我们需要一个可能不那么明显的部分。观察 $\cos(n)$，我们需要确保它永远不会为零。（你一会儿就会明白为什么。）我们可以这么说吗？当 $\cos(x)=0$ 时？当 $x$ 是 $\pi /2$ 的倍数时，它为零。换句话说，是否存在一个正整数 $k$ 使得 $n=k\pi /2$？不，$n=1,2,3,...$ 且 $\pi$ 是无理数。这意味着 $n$ 永远不会是 $\pi$ 的倍数，因此，$\cos(n)$ 永远不会为零。

但是，在我们使用这个测试之前，还需要处理一个额外的细节。请注意，这两个不等式都要求 $a_{n}$ 项为正。这是一个重要的细节。如果不满足这个条件，我们就不能使用直接比较测试。

幸运的是，我们有一个定理可以帮助我们。绝对收敛定理告诉我们，如果 $\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$ 收敛，那么 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也收敛。因此，我们将用 $\left|\cos(n)\right|$ 代替 $\cos(n)$。因此，我们将用 $1$ 代替 $(\cos(n))^{3}$ 在我们的测试级数中，看看会发生什么。

因此，这给了我们一个收敛的 *p*- 级数 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 作为测试级数。将此级数称为 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，其中 $t_{n}=1/n^{2}$

步骤 2 - 建立不等式

由于我们最终得到的测试级数是收敛的，因此我们将不等式设置为 $0<a_{n}\leq t_{n}$。现在我希望你能明白确保 $\cos(n)$ 从未被评估为零的重要性。如果它确实如此，那么不等式的第一部分 $0<a_{n}$ 将不成立，因此我们将无法使用此测试。

因此我们需要证明的不等式是 $\displaystyle {{\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}}$

步骤 3 - 证明不等式成立

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {1+1/n+1/n^{2}}\end{array}}$

我们在本解决方案的开头讨论过 $(\left|\cos(n)\right|)^{3}$ 始终小于 1。由于不等式的右侧始终大于 1，因此我们可以说此不等式对所有 $n$ 成立。因此，级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收敛。

3. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}$

提示

选择 $t_{n}=1/n^{3}$ 并使用绝对收敛定理替换 $\sin(n)$ 为 $|\sin(n)|$.

答案

该级数根据 DCT 收敛。

解决方案

$\displaystyle {a_{n}={\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}}$

在我们开始直接比较检验之前，我们必须仔细观察要求。请注意，在这两个不等式中，我们都要求 $a_{n}>0$。然而，对于这个级数，正弦项引入了一些负项。因此，我们不能直接使用直接比较检验。这是一个重要的细节。如果我们不处理这个细节，我们就不能使用直接比较检验。

幸运的是，我们有一个定理可以帮助我们。绝对收敛定理告诉我们，如果 $\sum {|a_{n}|}$ 收敛，则 $\sum {a_{n}}$ 也收敛。在这种情况下，
$\displaystyle {|a_{n}|=\left|{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}\right|={\frac {|\sin(n)|}{|n^{3}+n+1|}}}$
由于 $n>0$ 分母始终为正，因此我们只需要将 $\sin(n)$ 替换为 $|\sin(n)|$。因此，在这个问题中，我们将努力证明收敛性。如果我们得到级数发散的结果，那么我们不能使用绝对收敛定理，结果是不确定的。

对于较大的 $n$，$n^{3}$ 项占主导地位。在分子中，$|\sin(n)|$ 始终小于或等于 1，让我们将这个级数与检验级数 $\sum {t_{n}}$ 进行比较，其中 $\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n^{3}}}}$.

由于 $t_{n}$ 是一个 $p=3>1$ 的 p 级数，所以测试级数收敛。因此，直接比较检验要求我们将不等式设定为 $a_{n}\leq t_{n}$。

${\begin{array}{rcl}a_{n}&\leq &t_{n}\\\displaystyle {\frac {|\sin(n)|}{n^{3}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {\frac {n^{3}+n+1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {1+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}\end{array}}$

最后一个不等式始终成立，因为 $|\sin(n)|\leq 1$ 且右侧始终大于 1。因此，级数收敛。

带视频解答的练习题

1

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{4}+1}}$

答案 收敛

解答

2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9^{n}}{3+10^{n}}}$

答案 收敛

解答