微积分/直接比较检验

直接比较检验

直接比较检验 (DCT) 有时简称为比较检验。但是，就像我们这里做的那样，许多书籍在名称中包含“直接”一词，以清楚地将此检验与极限比较检验区分开来。

有些老师会告诉你，这个检验非常基础且直观，但在刚开始时，对于许多学生来说，它可能难以理解和使用。但是，一旦掌握了它，它就是一个非常强大的检验，而且它比极限比较检验更容易使用，因为我们不需要计算极限。

关键 - - 关键是要正确设置不等式。这只有在选择了一个测试级数并且知道该测试级数的收敛/发散时才能完成。

首先，我们介绍直接比较检验的定义，然后我们解释每个部分。

直接比较检验定义

对于级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 和测试级数 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，其中 $t_{n}>0$

收敛 为了证明 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 的收敛性，$\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 必须收敛，并且 $0<a_{n}\leq t_{n}$

发散 为了证明 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 的发散性，$\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 必须发散，并且 $0<t_{n}\leq a_{n}$

直接比较检验快速笔记

用于证明收敛	是
用于证明发散	是
可能不确定	否

1. 请注意，我们没有指定$n$ - 求和中的值。这在微积分中很常见，它只是意味着对于此检验，级数从哪里开始并不重要（但它始终'结束'于无穷大，因为这是一个无穷级数）。
2. $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是我们试图确定收敛或发散的级数，它在题干中给出。
3. $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 是您选择的用于比较的检验级数。
4. 在使用此检验的过程中，您可能需要找到一些实际的、有限的值 $N>0$，其中不等式对于所有$n\geq N$成立。
5. 在设置不等式时要小心。根据您假设收敛还是发散，设置方式不同。
6. 使用此检验的一个微妙区别在于，在上述定义中的不等式中隐含了一个假设，即$a_{n}>0$。因此，请注意不要在交替级数或包含任何负项的级数上使用此检验。
7. 一些老师可能会说，此检验可能不确定。这是不正确的。如果可以找到有效的检验级数，并且可以证明不等式成立，那么此检验将始终告诉您级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收敛还是发散。有时无法找到有效的检验级数，或者无法证明不等式成立，但这并不意味着直接比较检验不确定。

如何使用直接比较检验

使用此检验主要有三个步骤。

步骤 1	选择一个检验级数
步骤 2	设置不等式
步骤 3	证明不等式成立

这个检验的难点在于，似乎要求您在使用检验之前已经知道级数是收敛还是发散。最好对它有一些感觉（随着练习量的增加，您会随着时间的推移而培养这种感觉），但是如果您没有感觉，您可以猜一下。如果您在尝试证明不等式成立时遇到了死胡同，请尝试证明另一个方向。您将在下面的步骤 1 中找到更多关于此方面的建议。

让我们详细了解每一步。

步骤 1 - 选择一个检验级数

当您刚开始学习这种技术时，您可能会觉得检验级数是凭空出现的，您只是随机选择一个，看看它是否有效。如果它没有用，您就尝试另一个。这不是选择检验级数的最佳方法。我发现的最佳方法是使用您被要求处理的级数，并以此为基础来确定检验级数。有几点需要考虑。

首先，要选择一个您知道收敛或发散的检验级数，并且该检验级数可以帮助您得到一个有限的、正的极限。

想法 1： 如果分式的分子和分母中都有多项式，请舍弃除最高次项（在分子和分母中）以外的所有项，并简化。舍弃任何常数。最终得到的结果可能是一个好的比较级数。之所以有效是因为，当 $n$ 变得越来越大时，最高次项占主导地位。您通常会得到一个您知道收敛或发散的 p级数。

想法 2： 选择一个 p级数或几何级数，因为您可以立即判断它是否收敛或发散。

想法 3： 如果您有正弦项或余弦项，那么您始终可以保证结果小于或等于 1，大于或等于 -1。如果您对角度没有限制，那么这是您可以得到的最佳结果。因此，用 1 代替正弦项或余弦项。

想法 4： 如果您有自然对数，请使用以下事实 $\ln(n)\leq n$ 用于 $n\geq 1$，用 $n$ 代替 $\ln(n)$，或者使用 $\ln(n)\geq 1$ 用于 $n\geq 3$。

随着你对这项测试的经验积累，选择合适的测试序列将变得更加容易。所以要多做练习题。

与极限比较检验相比，直接比较检验还需要考虑的一点是，你需要直观地判断级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是收敛还是发散。这需要一定的经验，因为它决定了如何建立不等式。但你可以通过观察最终得到的测试级数来猜测。如果测试级数发散，那么你的级数也可能发散。同样，如果测试级数收敛，那么你需要检验原始级数的收敛性。

选择测试级数没有通用的规则，但随着经验的积累，你会开始发现一些规律，我们将会展示一些例子并解释如何选择测试级数（许多/大多数书籍都忽略了这一点）。

步骤 2 - 建立不等式

如果你有一个级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 并选择一个测试级数 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，那么你可以用两种方式之一建立不等式。

收敛	发散
如果你假设收敛，那么测试级数也必须收敛，你需要证明的不等式是 $0<a_{n}\leq t_{n}$.	如果你假设发散，那么测试级数必须发散，你需要证明的是 $0<t_{n}\leq a_{n}$.

以下是一个关于如何思考不等式方向的想法。如果你认为你正在处理的级数发散，你需要选择一个比你正在处理的级数更小的发散测试级数。你可以将这个更小的测试级数看作是随着 $n$ 的增大而“向上推”你的级数，并且由于这个更小的级数发散，你的级数不可能收敛，因为它始终被“推向”无穷大。

但是，如果你认为你的级数收敛，那么你需要选择一个比你的级数更大的收敛测试级数。然后，你可以将测试级数看作是随着 $n$ 的增大而始终“向下压”你的级数，防止它发散到无穷大。

步骤 3 - 证明不等式成立

建立好不等式后，你需要证明不等式对于所有大于某个 $N$ 的 $n$ 都成立。根据不等式的不同，有多种技术可以做到这一点，其中一种应该可以奏效。

技术 1 - 直接

在这种情况下，建立不等式并进行代数运算，直到你得到一个始终成立的不等式。例如，我们可以证明 $n\leq n+2$，方法是两边同时减去 $n$，得到 $0\leq 2$。最后一个不等式始终成立。

注意：在进行平方和平方（偶数）根运算时要小心。结果不等式可能不等于。

技术 2 - 证明一个不等式始终为正

如果直接方法不可行，尝试将所有项移到一边，另一边留零，然后解释表达式为何始终为正。例如，如果我们能够得到类似 $0\leq \displaystyle {\frac {n+5}{n^{3}}}$ 的结果，我们可以争论，由于 $n$ 始终为正，分子和分母都是正数，导致右侧始终大于零。这里要记住的关键是，$n$ 从零或一开始，之后始终为正。

如果您能找到一个值 $N$ 使得表达式对所有 $n\geq N$ 成立，此技巧也适用。与最后一个例子类似，您可以将此论点用于不等式 $0\leq \displaystyle {\frac {n-5}{n^{3}}}$，通过说明对于 $n\geq 6$，不等式成立。

技巧 3 - 使用斜率

第三种技巧是使用斜率的概念，它通过一个例子可以最好地说明。让我们用斜率证明 $n\geq \ln(n)$。

首先要记住关于斜率的是，要找到斜率，您需要求导数，而导数仅在连续函数上定义。在我们的例子中，$n$ 是离散的（$n$ 取离散值 1、2、3、4……，但在这些数字之间没有值），因此我们需要找到在离散值处具有相同值的连续函数。只要函数是连续的，我们不在乎离散值之间的任何情况。因此，对于 $n$，我们可以使用 $f(x)=x$，而对于 $\ln(n)$，我们可以使用 $g(x)=\ln(x)$，其中 $x$ 是两个函数中的连续变量。现在我们有了连续函数，因此我们可以求导数。我知道这是一个细微之处，但我们需要把它弄清楚。

好的，我们需要证明对于所有大于某个值的$x$，$x\geq \ln(x)$成立。我们把$f(x)=x$和$g(x)=\ln(x)$分别表示这两个函数。如果我们可以证明对于某个特定的$x$值，$f(x)\geq g(x)$，并且$f(x)$的斜率大于$g(x)$的斜率，那么$f(x)$将始终大于$g(x)$。两条曲线将永远不会相交，不等式$x\geq \ln(x)$将成立。您可以从这个图中直观地看到这一点（但不能用这个图来证明这一点）。

让我们看看是否可以证明这一点。首先，我们知道当$x=1$时，$f(1)=1$，并且$g(1)=0$。由于$1\geq 0$，我们已经确定了一个点（$x=1$）其中$f(x)\geq g(x)$。现在我们将使用斜率来确定这些函数对于所有$x>1$都保持这种关系。

对函数求导，我们有 $f'(x)=1$ 和 $g'(x)=1/x$。我们需要证明 $f'(x)\geq g'(x)$

       $\displaystyle {\begin{array}{rcl}f'(x)&\geq &g'(x)\\1&\geq &1/x\\x&\geq &1\end{array}}$

现在，由于 $x$ 始终大于或等于 $1$，那么 $f(x)$ 的斜率始终大于 $g(x)$ 的斜率。这意味着 $f(x)$ 的增长速度比 $g(x)$ 快，因此它将始终更大。

这表明 $x\geq \ln(x)$。

总结一下，我们在这里所做的是，我们找到了一个点 $x=1$，在这个点上不等式成立。然后我们使用斜率来证明不等式对所有大于该值的值都成立。

如果不等式不成立怎么办？

如果你无法证明不等式，那么你需要选择一个不同的测试序列或者尝试其他测试。使用直接比较测试需要练习和时间才能理解它并使用它。

如果不等式不成立，并不意味着不能使用直接比较测试。我们可能只需要选择一个不同的测试序列。一个建议是了解该序列的样子，可以使用计算器绘制该序列或使用其他测试。然后看看你是否可以推断出一个更小或更大的序列，以便得到另一个测试序列。

如何不使用直接比较测试

学生试图使用直接比较测试，但没有得到结果，主要有两种方式。

1. 使用 $n$ 的前几个值建立一个表格，以表明不等式对所有 $n$ 都成立。要非常小心，不要使用这种方法。这是一个陷阱，讲师会注意这一点。

2. 不正确地设置不等式。本节的其余部分将对此进行说明，并解释为什么它不奏效。

以下是如何不使用直接比较测试，即当不等式设置不正确时，这种测试不奏效的情况。

在一个视频中，我看到演示者查看了示例 $\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln(n))^{2}}}}$，以表明你不能使用直接比较测试，方法是将其与 $\displaystyle {\sum {\frac {1}{n^{3}}}}$ 进行比较，以证明收敛性。当这种情况发生时，你有两种选择。

1. 你可以选择一个不同的测试序列。

2. 你可以尝试其他测试。

在这个例子中，这两种选择都有效。

1. 将此级数与 $\displaystyle {\sum {\frac {1}{n^{2}}}}$ 进行比较。

2. 使用积分判别法或极限比较判别法。

无论使用哪种判别法，此级数都收敛。

学习提示

学习此判别法时，画出相关的图形可能会有所帮助。虽然这是一种通用的好技巧，但它对学习此判别法尤其有用，因为不等式在图形中表现得最清晰。你甚至不需要具体的函数。你只需要画出在测试函数之上和之下的泛型函数。

小心！绘图和代入值不是证明任何级数收敛或发散的有效方法。老师会预料到这一点，并经常在考试中提出用这种方法会导致错误答案的问题。

视频推荐

如果你想观看关于直接比较判别法的完整讲座，这个视频剪辑很好。注意他称之为比较判别法，省略了直接一词。你只需要观看前 40 分 12 秒。之后他讨论了极限比较判别法。

这是一个简短的视频，解释了此判别法。

这个视频的前五分半钟很好地解释了直接比较判别法。

这个视频的前两分钟也包含对直接比较判别法的良好解释。

这个视频剪辑很重要，因为它展示了几乎每个学生在使用此判别法时都会遇到的一个陷阱，大多数老师都会留意这个陷阱。

应用于反常积分

即使你还没有学习反常积分，这个视频也值得观看，因为它可以帮助你直观地理解直接比较判别法。你不需要理解反常积分就能从这个视频中获得很多东西。

示例集 1 - 测试发散性

使用发散且单调的调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 来确定对于以下每个级数，$\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是否发散（如果可能）。

示例 1.1

$a_{n}={\frac {1}{n-1}}$

由于我们假设发散，我们需要设置的不等式是 $0<t_{n}\leq a_{n}$，其中 $a_{n}={\frac {1}{n-1}}$ 且 $t_{n}={\frac {1}{n}}$。由于 $n>0$，$t_{n}=1/n$ 也大于零，因此不等式的左边成立。所以我们只需要证明不等式的右边。

 ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\\n-1&\leq &n\\-1&\leq &0\end{array}}$

最后一个不等式对于所有 $n$ 成立。因此，根据 DCT，此级数发散。

这是一个很好的例子，说明如何选择测试级数。当 $n$ 变得非常大时，常数变得可以忽略不计。所以有时通过省略常数来选择测试级数是可行的。当然，这并不总是有效，下一个例子就说明了这一点。

示例 1.2

$a_{n}={\frac {1}{n+1}}$

如前例所示，我们只需要证明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\\n+1&\leq &n\\1&\leq &0\end{array}}$

然而，这永远不会成立，因此该检验序列无法使用。（一些讲师可能会说这意味着 DCT 不确定，但实际上，这并不是证明发散的有效检验序列。）检验序列 $t_{n}={\frac {1}{2n}}$ 将是一个更好的比较检验。

示例 1.3

$a_{n}={\frac {3}{n}}$

如前两个例子所示，我们只需要证明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {3}{n}}\\n&\leq &3n\\1&\leq &3\end{array}}$

最后一个不等式对于所有 $n$ 都成立。因此，该序列根据 DCT 发散。

示例 1.4

$a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

如前例所示，我们只需要证明不等式的右半部分成立。

      ${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\\{\sqrt {n}}&\leq &n\\n&\leq &n^{2}\\0&\leq &n^{2}-n\\0&\leq &n(n-1)\end{array}}$

最后一个不等式对于所有 $n\geq 2$ 都成立。因此，该序列根据 DCT 发散。

这里有两点需要说明。

1. 请注意，我们需要找到一个值 $N=2$，使得对于所有值 $n\geq N$，不等式都成立。
2. 虽然一般来说对不等式两边平方并假设它是有效操作不是一个好主意，但它在这里有效，因为 $n$ 始终大于 1。

示例 1.5

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

如前例所示，我们只需要证明不等式的右半部分成立。

${\begin{array}{rcl}t_{n}&\leq &a_{n}\\\displaystyle {\frac {1}{n}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\n^{2}&\leq &n\\n^{2}-n&\leq &0\\n(n-1)&\leq &0\end{array}}$

最后一个不等式并非对于所有大于某个 $N$ 的 $n$ 都成立，即当 $n$ 大于 1 时，最后一个不等式不再成立。因此，该检验序列无法用于根据 DCT 证明发散。

请注意，DCT 仍然可以用于该序列，但由于该序列收敛，因此如果我们想使用 DCT，则需要另一个检验序列。

示例集 2 - 收敛性检验

使用收敛且单调的序列 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 来确定 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是否收敛，如果可能，对于以下每个序列。

示例 2.1

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

$n^{-2}$ 的衰減速度快於 $2^{-n}$。然而，這些級數不滿足 $0\leq z_{n}\leq s_{n}$ 的要求，因为当 $n<2$ 时，$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 大于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。我们可以通过从这两个级数中去除第一项来解决这个问题，得到 $1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 和 $2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。现在，比较 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 与 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 表明 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ 确实是收敛的。由于它是收敛的，添加最初的 $1$ 不会改变它是否收敛，它只会将收敛值增加 $1$。

示例 2.2

$a_{n}=e^{-x}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-x}}$ 小于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 对每一个 $n$ 都成立，所以这个级数是收敛的。

示例 2.3

$a_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}(x)}$ 小于或等于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 并且大于 $0$ 对于域中的每一个 $n$；这是因为 $\sin ^{2}(x)$ 符合 </math>\frac{1}{2^n}</math>，并且 $\sin(x)$ 平方意味着它永远不会小于零。

示例 2.4

$a_{n}={\frac {2}{2^{n}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{2^{n}}}$ 是收敛的。注意，这只是 $2\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，它只是 $2$ 乘以某个有限数。

示例 2.5

$a_{n}={\frac {1}{1.5^{n}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}$ 大于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$ 对于无限多个 $n$。所以这个测试级数不能用于测试收敛性。

示例 2.6

$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}$

此级数包含负项，因此无法使用直接比较检验。

直接比较检验练习题

带书面解答的练习题

如果可能，请使用直接比较检验来确定这些级数的收敛或发散。如果直接比较检验无法确定，请使用其他检验来确定收敛或发散。确保在最终答案中指定你使用的检验方法。

1. $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)-1}}$

提示

选择 $\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n\ln(n)}}}$

答案

该级数根据直接比较检验发散。

解答

我们将使用直接比较检验，并将此级数与 $\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)}}}$ 进行比较。这是一种非常常见的比较级数的选择方法。由于常数，无论其值如何，在与非常非常大的数字相比时都变得微不足道，因此我们通常可以忽略它们并使用结果作为检验级数。但这并不总是有效，当然，它取决于检验级数是收敛还是发散，但这是一个好的起点。
检验级数在积分检验页面上作为一个练习题被证明是发散的。因此，我们只需要证明 $t_{n}<a_{n}$ 对所有 $n>2$ 成立。
${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)}}&<&\displaystyle {\frac {1}{n\ln(n)-1}}\\n\ln(n)-1&<&n\ln(n)\\-1&<&0\end{array}}$
由于最后一个不等式对所有 $n$ 成立，那么第一个不等式也成立，因此 $t_{n}<a_{n}$ 对所有 $n>2$ 成立。
因此，根据直接比较检验，由于检验级数发散，并且其项小于原始级数中的项，因此原始级数也发散。

2. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\cos(n))^{3}}{n^{2}+n+1}}$

提示

选择 $t_{n}=1/n^{2}$ 并使用绝对收敛定理替换 $\cos(n)$ 为 $|\cos(n)|$ 以便使项为正。

答案

该级数由 DCT 收敛。

解答

步骤 1 - 选择一个检验级数

首先，让我们看一下分母多项式 $n^{2}+n+1$。当 $n$ 变得非常大时，$n^{2}$ 项将支配其他两项。因此，我们将删除 $n+1$，只保留 $n^{2}$ 在分母中。现在，让我们看一下分子。没有简单的方法来确定 $(\cos(n))^{3}$ 当 $n$ 趋于无穷时的行为。本质上，它在 $-1$ 和 $+1$ 之间振荡。

然而，我们知道 $\cos(n)\leq 1$，并且也 $(\cos(n))^{3}\leq 1$。现在，我们需要了解一个可能不太明显的要点。观察 $\cos(n)$，我们需要确保它永远不会为零。（稍后您就会明白原因）。我们可以断言吗？什么时候 $\cos(x)=0$？当 $x$ 是 $\pi /2$ 的倍数时，它为零。换句话说，是否存在一个正整数 $k$ 使得 $n=k\pi /2$？不，$n=1,2,3,...$ 且 $\pi$ 是无理数。这意味着 $n$ 永远不会是 $\pi$ 的倍数，因此，$\cos(n)$ 永远不会为零。

然而，在我们使用这个测试之前，还需要处理一个额外的细节。请注意，这两个不等式都要求 $a_{n}$ 项为正。这是一个重要的细节。如果我们没有这个要求，我们就不能使用直接比较测试。

幸运的是，我们有一个定理可以帮助我们。绝对收敛定理告诉我们，如果 $\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$ 收敛，那么 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也收敛。所以我们将用 $\left|\cos(n)\right|$ 替换 $\cos(n)$。所以我们将用 $1$ 替换 $(\cos(n))^{3}$ 在我们的测试级数中看看会发生什么。

所以，这给了我们一个p-级数 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 作为测试级数，它收敛。我们将这个级数称为 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，其中 $t_{n}=1/n^{2}$

步骤 2 - 建立不等式

由于我们最终得到的测试级数收敛，我们建立不等式为 $0<a_{n}\leq t_{n}$。我希望你现在能明白确保 $\cos(n)$ 从未取值为零的重要性。如果取值为零，不等式的第一部分 $0<a_{n}$ 就不成立，因此我们无法使用此测试。

所以我们需要证明的不等式是 $\displaystyle {{\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}}$

步骤 3 - 证明不等式成立

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}{n^{2}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}}}\\\displaystyle {(\left|\cos(n)\right|)^{3}}&\leq &\displaystyle {1+1/n+1/n^{2}}\end{array}}$

我们在本解决方案的开头附近讨论过，$(\left|\cos(n)\right|)^{3}$ 始终小于 1。由于不等式的右边始终大于 1，因此可以说该不等式对所有 $n$ 成立。因此，级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 收敛。

3. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}$

提示

选择 $t_{n}=1/n^{3}$ 并使用绝对收敛定理替换 $\sin(n)$ 为 $|\sin(n)|$。

答案

该级数由 DCT 收敛。

解答

$\displaystyle {a_{n}={\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}}$

在开始使用直接比较检验之前，我们必须仔细查看要求。请注意，在两个不等式中，我们都要求 $a_{n}>0$。但是，对于此级数，正弦项引入了某些负项。因此，我们不能直接使用直接比较检验。这是一个重要的细节。如果我们不处理此细节，则无法使用直接比较检验。

幸运的是，我们有一个定理可以帮助我们。绝对收敛定理告诉我们，如果 $\sum {|a_{n}|}$ 收敛，则 $\sum {a_{n}}$ 也收敛。在这种情况下，
$\displaystyle {|a_{n}|=\left|{\frac {\sin(n)}{n^{3}+n+1}}\right|={\frac {|\sin(n)|}{|n^{3}+n+1|}}}$
由于 $n>0$，分母始终为正，因此我们只需要将 $\sin(n)$ 替换为 $|\sin(n)|$。因此，在这个问题中，我们将朝着收敛性努力。如果我们得到该级数发散的结果，那么我们不能使用绝对收敛定理，结果是不确定的。

对于较大的 $n$，$n^{3}$ 项占主导地位。在分子中，$|\sin(n)|$ 始终小于或等于 1，让我们将此级数与测试级数 $\sum {t_{n}}$ 进行比较，其中 $\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n^{3}}}}$。

由于 $t_{n}$ 是一个 p 级数，其中 $p=3>1$，因此测试级数收敛。所以直接比较测试要求我们将不等式设置为 $a_{n}\leq t_{n}$。

${\begin{array}{rcl}a_{n}&\leq &t_{n}\\\displaystyle {\frac {|\sin(n)|}{n^{3}+n+1}}&\leq &\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {\frac {n^{3}+n+1}{n^{3}}}\\|\sin(n)|&\leq &\displaystyle {1+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}\end{array}}$

最后一个不等式始终成立，因为 $|\sin(n)|\leq 1$ 并且右侧始终大于 1。因此该级数收敛。

带视频解答的练习题

1

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{4}+1}}$

答案 收敛

解答

2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9^{n}}{3+10^{n}}}$

答案 收敛

解答