微积分/数列的定义

有限数列

定义：数列的定义

数列是一个有序的项的集合，允许重复。数列中项的数量称为数列的长度。

数列通常用括号表示，例如 $\left\{2,3,3,4,4\right\}$ 。此外，如果我们有一个数列 $a$ ，使得 $a=\left\{1,2,3,4,5\right\}$ ，那么 $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3...$ 。下标必须是非负整数。还要注意 $n$ 从 1 开始并向上计数。

我们可以用公式 $a_{n}=n$ 来描述此数列中的项，对于所有非负整数 $n<6$ 。因此根据此定义， $a_{6}$ 没有定义，实际上 $a_{6}$ 不在数列中。

无限数列

定义：无限数列的定义

无限数列是一个具有无限个元素的数列。

无限数列有无限个项。对于这样的数列，我们仍然可以给出数列中任何项的公式。对于我们之前的数列 $a$ ，我们可以说 $a_{n}=n$ ，对于所有非负整数 $n$ 。此数列也可以表示为 $\left\{0,1,2,3,4,5,...\right\}$ ，其中省略号表示此数列是无限的。

离散函数

之前，我们定义了无限序列 $a$ 的成员为 $a_{n}=n$ ，其中 $n$ 是所有非负整数。这被称为离散函数、离散定义或显式定义。离散函数是指其定义域不包含所有实数或虚数的函数，而是更小的、可数的集合，例如所有整数的集合或所有有理数的集合。请注意，集合与序列不同，但这超出了本次讨论的范围。

离散函数仅接受“可数”的、离散的定义域。所有整数的集合是可数的，因为在集合中的两个值之间没有无穷多个值；在 2 和 1 之间没有额外的值，因为 1.5 不是整数，也不包含在集合中。另外请注意，给定一个离散函数或显式定义，只要定义域是离散的，则值域也必须是离散的。这意味着，如果离散函数的输入是可数的，则输出也必须是可数的。

示例 1

$q_{n}=n+1$

$q=\left\{2,3,4,5,6...\right\}$

这被称为等差数列。我们将在后面讨论它们。

示例 2

$c_{n}=\cos(n-1)$

$c=\left\{1,0.5403...,-0.4161...,-0.9899...,0.2836...,...\right\}$

这个结果可能很有趣：序列不必是整数的集合，事实上它可以是任何集合，只要它是可数的。在这里，我们只是取所有整数的余弦，任何离散函数都必须具有离散定义域和离散值域。

递归函数

递归函数、递归公式或递归定义是指 $a_{n}$ 用 $a_{n-1}$ 定义的公式。要了解递归定义的序列中的任何一项，都需要了解它之前的所有项，这意味着必须知道第一项，有时用 $a_{0}$ 或 $a_{1}$ 表示。为了获得适当的递归序列，必须定义第一项；不能假设第一项是 1。