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微积分/方向导数和梯度向量

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方向导数

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通常,一个函数关于其一个变量(比如,xj)的偏导数,是对该函数沿xj轴平行的那“片”求导。

更确切地说,我们可以想象在空间中沿着xj轴切割一个函数f(x1,...,xn),同时保持除xj之外的所有变量不变。

根据定义,我们有沿该“片”在点p处的函数的偏导数为

只要这个极限存在。

除了对应于沿着该轴求导的基向量,我们可以选择任何方向上的向量(通常我们把它作为单位向量),我们把一个函数的方向导数定义为

其中d是方向向量。

如果我们想计算方向导数,根据极限定义来计算的话会非常麻烦,但是,我们有以下结论:如果f : RnR 在点p处可微,|p|=1,

在下一节中,我们将研究一个密切相关的公式。

梯度向量

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一个标量的偏导数告诉我们,如果我们沿着一个轴移动,它会发生多少变化。如果我们朝其他方向移动会怎样呢?

我们将这个标量称为f,并考虑一下,如果我们朝一个无穷小的方向dr=(dx,dy,dz)移动,使用链式法则会发生什么。

这是dr与一个向量的点积,这个向量的分量是f的偏导数,称为f的梯度。

然后我们可以通过将梯度与d进行点积来计算在点p处沿方向d的方向导数

.

请注意,grad f 看起来像一个向量乘以一个标量。这种偏导数的特定组合很常见,因此我们将其缩写为

我们可以将求梯度向量的操作写成一个“运算符”。回想一下,在一元函数情况下,我们可以写成 d/dx 来表示对 x 求导的操作。这种情况类似,但 就像一个向量一样起作用。

我们也可以将求梯度向量的操作写成

梯度向量的性质

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几何
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  • Grad f(p) 是指向 f 最陡斜率方向的向量。|grad f(p)| 是该点斜率的变化率。

例如,如果我们考虑 h(x, y)=x2+y2h 的等高线是同心圆,圆心在原点,并且

grad h 指向远离原点的方向,垂直于等高线。

  • 沿着等高线,(∇f)(p) 垂直于等高线 {x|f(x)=f(p)} 在 x=p 处。

如果 dr 指向 f 的等高线方向,其中函数为常数,则 df 将为零。由于 df 是点积,这意味着两个向量 df 和 grad f 必须成直角,即梯度垂直于等高线。

代数性质
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d/dx 一样,∇ 是线性的。对于任意一对常数 ab,以及任意一对标量函数 fg

由于它是一个向量,我们可以尝试用其他向量和它自身来进行点积和叉积。

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