微积分/方向导数和梯度向量

方向导数

通常，一个函数关于其一个变量（比如，x_j）的偏导数，是对该函数沿x_j轴平行的那“片”求导。

更确切地说，我们可以想象在空间中沿着x_j轴切割一个函数f(x₁,...,x_n)，同时保持除x_j之外的所有变量不变。

根据定义，我们有沿该“片”在点p处的函数的偏导数为

${\partial \mathbf {f} \over \partial x_{j}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {e} _{j})-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

只要这个极限存在。

除了对应于沿着该轴求导的基向量，我们可以选择任何方向上的向量（通常我们把它作为单位向量），我们把一个函数的方向导数定义为

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {d} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

其中d是方向向量。

如果我们想计算方向导数，根据极限定义来计算的话会非常麻烦，但是，我们有以下结论：如果f : Rⁿ → R 在点p处可微，|p|=1，

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=D_{\mathbf {p} }\mathbf {f} (\mathbf {d} )$

在下一节中，我们将研究一个密切相关的公式。

梯度向量

一个标量的偏导数告诉我们，如果我们沿着一个轴移动，它会发生多少变化。如果我们朝其他方向移动会怎样呢？

我们将这个标量称为f，并考虑一下，如果我们朝一个无穷小的方向dr=(dx,dy,dz)移动，使用链式法则会发生什么。

$\mathbf {df} =dx{\frac {\partial f}{\partial x}}+dy{\frac {\partial f}{\partial y}}+dz{\frac {\partial f}{\partial z}}$

这是dr与一个向量的点积，这个向量的分量是f的偏导数，称为f的梯度。

$\operatorname {grad} \mathbf {f} =\nabla \mathbf {f} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{n}}}\right)$

然后我们可以通过将梯度与d进行点积来计算在点p处沿方向d的方向导数

${\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over \partial \mathbf {d} }=\mathbf {d} \cdot \nabla \mathbf {f} (\mathbf {p} )$.

请注意，grad f 看起来像一个向量乘以一个标量。这种偏导数的特定组合很常见，因此我们将其缩写为

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

我们可以将求梯度向量的操作写成一个“运算符”。回想一下，在一元函数情况下，我们可以写成 d/dx 来表示对 x 求导的操作。这种情况类似，但 ∇ 就像一个向量一样起作用。

我们也可以将求梯度向量的操作写成

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

梯度向量的性质

几何

• Grad f(p) 是指向 f 最陡斜率方向的向量。|grad f(p)| 是该点斜率的变化率。

例如，如果我们考虑 h(x, y)=x²+y²。h 的等高线是同心圆，圆心在原点，并且

$\nabla h=(h_{x},h_{y})=2(x,y)=2\mathbf {r}$

grad h 指向远离原点的方向，垂直于等高线。

• 沿着等高线，(∇f)(p) 垂直于等高线 {x|f(x)=f(p)} 在 x=p 处。

如果 dr 指向 f 的等高线方向，其中函数为常数，则 df 将为零。由于 df 是点积，这意味着两个向量 df 和 grad f 必须成直角，即梯度垂直于等高线。

代数性质

和 d/dx 一样，∇ 是线性的。对于任意一对常数 a 和 b，以及任意一对标量函数 f 和 g

${\frac {d}{dx}}(af+bg)=a{\frac {d}{dx}}f+b{\frac {d}{dx}}g\quad \nabla (af+bg)=a\nabla f+b\nabla g$

由于它是一个向量，我们可以尝试用其他向量和它自身来进行点积和叉积。