微积分/发散检验

发散检验

发散检验是使用最简单的无穷级数检验，但学生可能会错误地使用它而感到困惑。在本页中，我们解释了如何使用它以及如何避免与该检验相关的最常见陷阱之一。
发散检验也称为第n项检验。

发散检验定义

如果 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\neq 0}$，则 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$ 发散。

发散检验快速笔记

用于证明收敛性	否
用于证明发散性	是
可能是无结论的	是

如何使用发散检验

要使用发散检验，只需取极限 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}}$。如果此极限结果为非零值，则级数发散，则检验完成。如果极限等于零，则检验无结论，无法说明级数的收敛性。它可能收敛，也可能发散。您需要使用其他检验来确定收敛性或发散性。

需要注意的事项

发散检验似乎非常简单明了。基本上，这个检验表明，对于一个级数 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$，如果 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\neq 0}$，则该级数发散。非常简单，对吧？但是，有一个陷阱让很多学生掉入。

陷阱 - - 几乎每个学生都有一个倾向，就是使用这个定理来证明收敛性。该语句没有说明关于收敛性的任何内容。让我们举几个例子来演示我们的意思。让我们比较一下这两个非常相似的级数的收敛性或发散性。(如果您还不知道p-级数，请相信我们的收敛/发散结论。您很快就会明白。)

A	$\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$	$\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$	发散	p-级数，其中 $p=1$
B	$\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$	$\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}=0}$	收敛	p-级数，其中 $p=2$

需要注意的是，**两种情况下项的极限都趋于零。但是，级数 A 发散而级数 B 收敛。**（参见无穷级数 - 积分检验页面，其中包含一个视频，演示了这两个级数收敛/发散的证明。）

因此，您可以看到，仅仅因为极限趋于零，**并不**能保证级数收敛。只有当极限不趋于零时，您才能应用该定理。这保证了发散。当极限趋于零时，您仍然不知道级数是收敛还是发散。您需要使用其他检验来确定收敛性。

示例

确定这些级数是发散的，还是发散检验无结论。

示例 1

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}$

因为 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+1}{n}}=1$，极限不为零，因此根据发散检验，该级数发散。

示例 2

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}$

因为 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}={\frac {1}{3}}$，极限不为零，因此根据发散检验，该级数发散。

示例 3

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}$

因为 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}=0$，极限为零，因此检验无结论。需要进一步分析才能确定级数是收敛还是发散。