微积分/亥姆霍兹分解定理

亥姆霍兹分解定理，被认为是向量微积分的基本定理，指出任何向量场 $\mathbf {F}$ 可以表示为一个保守向量场 $\mathbf {G}$ 和一个无散度向量场 $\mathbf {H}$ 之和：$\mathbf {F} =\mathbf {G} +\mathbf {H}$.

方法 #1

给定一个向量场 $\mathbf {F}$，向量场 $\mathbf {G} (\mathbf {q} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {(\nabla \cdot \mathbf {F} )|_{\mathbf {q} '}(\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{|\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$ 与 $\mathbf {F}$ 的散度相同，并且也是保守的：$\nabla \cdot \mathbf {G} =\nabla \cdot \mathbf {F}$ 且 $\nabla \times \mathbf {G} =\mathbf {0}$。向量场 $\mathbf {H} =\mathbf {F} -\mathbf {G}$ 是无散度的。

因此，$\mathbf {F} =\mathbf {G} +\mathbf {H}$，其中 $\mathbf {G} (\mathbf {q} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {(\nabla \cdot \mathbf {F} )|_{\mathbf {q} '}(\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{|\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$，而 $\mathbf {H} =\mathbf {F} -\mathbf {G}$。向量场 $\mathbf {G}$ 是保守的，而 $\mathbf {H}$ 是无散度的。

方法 #2

给定向量场 $\mathbf {F}$，向量场 $\mathbf {H} (\mathbf {q} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {(\nabla \times \mathbf {F} )|_{\mathbf {q} '}\times (\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{|\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$ 与 $\mathbf {F}$ 有相同的旋度，而且也是无散度的：$\nabla \times \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {F}$ 以及 $\nabla \cdot \mathbf {H} =0$。向量场 $\mathbf {G} =\mathbf {F} -\mathbf {H}$ 是保守的。

因此 $\mathbf {F} =\mathbf {G} +\mathbf {H}$，其中 $\mathbf {H} (\mathbf {q} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {(\nabla \times \mathbf {F} )|_{\mathbf {q} '}\times (\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{|\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$ 且 $\mathbf {G} =\mathbf {F} -\mathbf {H}$。矢量场 $\mathbf {G}$ 是保守的，而 $\mathbf {H}$ 是无散度的。

方法 #3

亥姆霍兹分解可以按如下方式推导

给定任意点 $\mathbf {q} '$，向量场 ${\frac {\mathbf {q} -\mathbf {q} '}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}$ 的散度是 $\nabla _{\mathbf {q} }\cdot {\frac {\mathbf {q} -\mathbf {q} '}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}=\delta (\mathbf {q} ;\mathbf {q} ')$，其中 $\delta (\mathbf {q} ;\mathbf {q} ')$ 是以 $\mathbf {q} '$ 为中心的狄拉克 delta 函数。（下标 $_{\mathbf {q} }$ 明确表示 $\mathbf {q}$ 而不是 $\mathbf {q} '$ 是微分算子作用的参数）。由于 $\nabla _{\mathbf {q} }({\frac {-1}{|\mathbf {q} -\mathbf {q} '|}})={\frac {\mathbf {q} -\mathbf {q} '}{|\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}$，因此有 $\nabla _{\mathbf {q} }^{2}{\frac {-1}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|}}=\nabla _{\mathbf {q} }\cdot {\frac {\mathbf {q} -\mathbf {q} '}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}=\delta (\mathbf {q} ;\mathbf {q} ')$

除了恒等式 $\nabla \cdot (f\mathbf {G} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {G} +f(\nabla \cdot \mathbf {G} )$ 和 $\nabla \times (f\mathbf {G} )=(\nabla f)\times \mathbf {G} +f(\nabla \times \mathbf {G} )$，最重要的是 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F}$，可以推导出以下结论

$\mathbf {F} (\mathbf {q} )=\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}\delta (\mathbf {q} ;\mathbf {q} ')\mathbf {F} (\mathbf {q} ')dV'$ $=\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}(\nabla _{\mathbf {q} }^{2}{\frac {-1}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|}})\mathbf {F} (\mathbf {q} ')dV'$ $=\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}(\nabla _{\mathbf {q} }^{2}{\frac {-\mathbf {F} (\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|}})dV'$

$=\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}(\nabla _{\mathbf {q} }(\nabla _{\mathbf {q} }\cdot {\frac {-\mathbf {F} (\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|}})-\nabla _{\mathbf {q} }\times (\nabla _{\mathbf {q} }\times {\frac {-\mathbf {F} (\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|}}))dV'$

$=\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}(\nabla _{\mathbf {q} }({\frac {(\mathbf {q} -\mathbf {q} ')\cdot \mathbf {F} (\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}})-\nabla _{\mathbf {q} }\times ({\frac {(\mathbf {q} -\mathbf {q} ')\times \mathbf {F} (\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}))dV'$

$=\nabla _{\mathbf {q} }\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {q} ')\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'+\nabla _{\mathbf {q} }\times \iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {q} ')\times (\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$

$\mathbf {G} (\mathbf {q} )=\nabla _{\mathbf {q} }\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {q} ')\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$ 是标量场的梯度，因此是保守的。

$\mathbf {H} (\mathbf {q} )=\nabla _{\mathbf {q} }\times \iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {q} ')\times (\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$ 是向量场的旋度，因此是无散度的。

总之，$\mathbf {F} =\mathbf {G} +\mathbf {H}$ 其中 $\mathbf {G} (\mathbf {q} )=\nabla _{\mathbf {q} }\iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {q} ')\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$ 是保守的，而 $\mathbf {H} (\mathbf {q} )=\nabla _{\mathbf {q} }\times \iiint _{\mathbf {q} '\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {q} ')\times (\mathbf {q} -\mathbf {q} ')}{4\pi |\mathbf {q} -\mathbf {q} '|^{3}}}dV'$ 是无散度的。