微积分/积分检验

积分检验

积分检验易于使用，并且在比例检验和比较检验不起作用并且您确定可以计算积分时使用它效果很好。该检验的思想是计算反常积分 $\displaystyle {\int _{k}^{\infty }{f(x)~dx}}$ .

积分检验利用了积分本质上是黎曼和的事实，而黎曼和本身是在无限区间上的无限和。这很有用，因为积分相对简单且熟悉。

积分检验定义

对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}$ ，我们可以找到一个正的、连续的和递减的函数 $f$ ，对于 $n>k$ 且 $a_{n}=f(n)$ ，那么我们知道如果

         $\int _{k}^{\infty }{f(x)~dx}$

收敛，则级数也收敛。
同样地，当积分发散时，级数也发散。

积分检验快速笔记

用于证明收敛	是
用于证明发散	是
可能是不确定的	是

$a_{n}$ 必须是正的且递减的
要求被积函数必须可积（并非总是可能的）
要求计算无限极限（积分后）
如果极限的结果（积分后）不存在（不同于发散），则该检验是不确定的

要注意的两件事

1. k 的值

首先，您需要找到一个常数 k，使得该函数对于所有 $n>k$ 满足以下所有条件

连续的
正的
递减的

老师喜欢在考试中设置的一个常见陷阱（我第一次上这门课时就中招了）是要求你使用积分检验，但又不告诉你 $k$ 。许多书中只是展示了具有 $k=1$ 的积分，但这并非总是有效的。所以要小心。
如何找到 $k$
最好的方法是计算函数的临界值，然后检查导数在最大临界值的右侧是否为负。然后，如果您有图形计算器，请快速绘制图形以检查您的答案。如果一切看起来都很好，选择 $k$ 大于最大临界值。任何值都可以，所以选择一个在积分中易于使用的值。
没有一个总是有效的数值。这取决于函数。

2. 积分的最终值
其次，如果对积分得到一个有限值并确定级数收敛，那么你从积分得到的有限值**不等于**级数收敛到的值。这个数字本身在这个上下文中没有意义（即我们不使用这个数字的值来告诉我们关于级数的任何信息）。它的重要性在于它是否有限。就是这样。这是你能从这个数字中获得的所有信息。因此，**不要假设**级数收敛到这个数字。

直观解释为什么这个测试有效

让我们看看为什么这个测试有效。作为示例，我们将使用调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 。调和级数是一个众所周知的级数，它实际上是发散的。如果我们要近似积分，我们可以像在黎曼和中一样使用矩形

注意，这种右端方法将始终低估积分（假设函数在选定的区间上递减）。这意味着，如果右端和等于实际的无限级数，那么积分本身必须大于该和。这可以帮助证明收敛，因为如果从起点到无穷大的积分收敛，那么根据比较测试，该区间上的原始函数也必须收敛。因此我们可以看到，积分测试实际上是比较测试的“特例”。

但是发散呢？这种情况也满足——如果我们使用左端近似而不是右端近似，我们会看到我们再次获得了原始级数，但是有一个重要的区别

关键的区别在于，在这种情况下，积分成为级数的低估，我们可以使用新的“积分”级数来证明发散，使用比较测试。

这个测试很有用，但不幸的是，它只对可以积分 * 并且 * 在大小上递减的函数有用。后者看起来可能是一个微不足道且不必要的附加条件，但请考虑这个测试是如何工作的；它依赖于这样一个事实，即在一个区间上递减的函数的积分将始终产生级数的低估或高估；如果函数在该区间上不处处递减，则积分不一定会每次都产生低估或高估。

积分测试证明

以下是展示积分测试证明的 4 个连续视频。你不需要按顺序观看这些视频才能理解和使用积分测试，但我们在这里提供给那些感兴趣的人。

积分测试证明 - 第 1 部分 (共 4 部分)
积分测试证明 - 第 2 部分 (共 4 部分)
积分测试证明 - 第 3 部分 (共 4 部分)
积分测试证明 - 第 4 部分 (共 4 部分)

视频推荐

如果你想完整地了解这个测试，我们推荐这个视频。
微积分 2 讲座 9.3：使用积分测试来判断级数的收敛/发散，p 级数

在这个视频片段 [11 分钟 23 秒] 中，他很好地解释了积分测试。他使用积分测试来证明 *p* 级数 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 的发散性。
级数简介 + 积分测试

在这个视频中，讲师通过在两个级数 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 和 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 上更详细地解释积分测试，以证明一个发散，另一个收敛。
积分测试

这是对积分测试的另一个很好的解释。他考察了和 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$ 。
积分测试 - 基本思路

这是一个很好的视频，它直观地解释了为什么它有效。
级数的积分测试：为什么它有效

最后一个视频讨论了积分测试的余项估计。虽然不理解如何使用积分测试并不需要了解这个，但这个视频将帮助你更直观地理解正在发生的事情。
积分测试的余项估计

例子

使用积分测试确定以下级数是收敛还是发散。

示例 1

$\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {x^{2}+1}{x}}$

这个级数不满足第一个要求，即级数在所需的区间上递减； $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty$ 。应用积分测试仍然会显示级数的收敛性。

示例 2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$

然而，该级数在区间上并非处处递减。但是，它在 $n=1$ 处有一个相对最大值，之后它就一直递减。因此，我们可以将该级数写成 $\sum _{n=1}^{2}{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$ 。对该函数积分得到无穷积分 $\tan ^{-1}(n-3)$ ，从 $3$ 到无穷大，该积分收敛，因此该级数也收敛。

积分判别法练习题

使用积分判别法（如果可能）确定以下级数的收敛性或发散性。

带书面解答的练习题

1. $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

提示

k\geq 1

k\geq 1

答案

收敛

解答

这是一个

p=2>1

的 *p* 级数，因此根据 *p* 级数检验，该级数收敛。
如下所示，我们展示了积分判别法。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{1}^{\infty }{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{x^{-2}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\left[-x^{-1}\right]_{1}^{b}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{-b^{-1}+1^{-1}}}\\&=&0+1=1\end{array}}$

由于该反常积分是有限的，因此级数根据积分检验收敛。
注意：积分得出的值

1

，并不一定就是级数收敛到的值。在这个上下文中，这个数字的重要性仅仅在于它是有限的。

这是一个

p=2>1

的 *p* 级数，因此根据 *p* 级数检验，该级数收敛。
如下所示，我们展示了积分判别法。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{1}^{\infty }{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{x^{-2}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\left[-x^{-1}\right]_{1}^{b}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{-b^{-1}+1^{-1}}}\\&=&0+1=1\end{array}}$

由于该反常积分是有限的，因此级数根据积分检验收敛。
注意：积分得出的值

1

，并不一定就是级数收敛到的值。在这个上下文中，这个数字的重要性仅仅在于它是有限的。

带视频解答的练习题

1	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}$	答案收敛收敛	解答		2	$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n[(\ln n)^{2}+4]}}$	答案收敛收敛	解答