微积分/积分检验

积分检验

积分检验使用起来很简单，而且在比率检验和比较检验无法使用时，并且您确信可以计算积分时，它非常有用。该检验的想法是计算反常积分 $\displaystyle {\int _{k}^{\infty }{f(x)~dx}}$ .

积分检验利用了积分本质上是黎曼和，而黎曼和本身是在无限区间上的无限和。这很有用，因为积分相对直接且熟悉。

积分检验定义

对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}$ ，我们可以找到一个正数、连续递减函数 $f$ ，当 $n>k$ 且 $a_{n}=f(n)$ 时，那么我们知道，如果

         $\int _{k}^{\infty }{f(x)~dx}$

收敛，级数也收敛。
类似地，当积分发散时，级数也发散。

积分检验快速笔记

用于证明收敛	是
用于证明发散	是
可能不确定	是

$a_{n}$ 必须为正数且递减
要求被积函数必须可积（并非总是可行）
要求计算无限极限（积分后）
如果极限结果（积分后）不存在（与发散不同），则该检验不确定

需要留意的事情

1. k 的值

首先，您需要找到一个常数 k，使得该函数满足所有这些条件，对于所有 $n>k$

连续
正数
递减

老师喜欢在考试中使用的一个常用的技巧（我在第一次上课时就中了招）是，他们会要求您使用积分检验，但是却没有告诉您 $k$ 。许多教材只展示了 $k=1$ 的积分，但这并不总是有效的。所以要小心。
如何找到 $k$
最好的方法是计算函数的临界值，然后检查导数在最大临界值的右侧是否为负。然后，如果你有图形计算器，可以快速绘制图形以检查你的答案。如果一切看起来都很好，选择 $k$ 大于最大的临界值。任何值都可以，所以选择一个在积分中易于使用的值。
没有一个值总是有效。它取决于函数。

2. 积分的最终值
其次，如果你得到积分的有限值并确定级数收敛，你从积分得到的有限值并非级数收敛的值。这个数字本身在这个语境中没有意义（即，我们不使用这个数字的值来告诉我们关于级数的任何信息）。它的意义在于它是有限还是无限。就这样。这是你能从这个数字中获得的所有信息。所以不要假设级数收敛于那个数字。

关于为什么这个测试有效的直观解释

让我们看看为什么这个测试有效。举个例子，我们将使用调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 。调和级数是一个众所周知的级数，实际上是发散的。如果我们想近似积分，我们可以像在黎曼和中一样使用矩形

注意，这种右手方法将始终低估积分（假设函数在我们选择的区间上是递减的）。这意味着如果右手和等于实际的无限级数，那么积分本身必须大于这个和。这可以帮助显示收敛性，因为如果从起点到无穷大的积分是收敛的，那么根据比较测试，原始函数在这个区间上也必须是收敛的。因此我们可以看到，积分测试实际上是比较测试的“特例”。

但是发散性呢？这种情况也得到满足——如果我们使用左手近似而不是右手近似，我们会看到我们再次获得原始级数，但是有一个重要的区别

关键的区别在于，在这种情况下，积分成为级数的低估，我们可以使用积分的新“级数”来用比较测试显示发散性。

这个测试很有用，但不幸的是，它只对可以积分且在大小上递减的函数有用。后者可能看起来像是微不足道的和不必要的补充，但是想想这个测试是如何工作的；它依赖于这样一个事实，即在一个区间上递减的函数的积分将始终产生级数的低估/高估；如果函数在区间上的任何地方不递减，积分不一定每次都产生低估/高估。

积分测试证明

这里有 4 个连续的视频展示了积分测试的证明。你不需要按顺序观看这些视频才能理解和使用积分测试，但我们在这里为有兴趣的人提供它们。

积分测试证明 - 第 1 部分 / 4
积分测试证明 - 第 2 部分 / 4
积分测试证明 - 第 3 部分 / 4
积分测试证明 - 第 4 部分 / 4

视频推荐

如果你想要关于这个测试的完整讲座，我们推荐这个视频。
微积分 2 讲座 9.3：使用积分测试判断级数的收敛性/发散性，p 级数

在这个视频片段 [11 分 23 秒] 中，他很好地解释了积分测试。他使用积分测试来显示 *p* 级数 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 的发散性。
级数入门 + 积分测试

在这个视频中，讲师通过在两个级数 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 和 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 上更详细地解释了积分测试，以显示一个发散而另一个收敛。
级数的积分测试

这是另一个对积分测试的很好的解释。他查看了和 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$ 。
积分测试 - 基本原理

这是一个很好的视频，它对为什么它有效提供了直观的理解。
级数的积分测试：为什么它有效

最后一个视频讨论了积分测试的余项估计。虽然不理解如何使用积分测试不是必需的，但这个视频将帮助你更直观地了解发生了什么。
积分测试的余项估计

例子

使用积分测试来确定以下级数是收敛还是发散。

例子 1

$\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {x^{2}+1}{x}}$

该级数不满足第一个条件，即级数在所需区间上递减； $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty$ 。应用积分检验仍然可以证明级数的收敛性。

示例 2

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$

然而，该级数在整个区间上并不总是递减的。不过，它在 $n=1$ 处有一个相对最大值，之后它永远递减。因此，我们可以将该级数写成 $\sum _{n=1}^{2}{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$ 。对该函数进行积分得到一个瑕积分 $\tan ^{-1}(n-3)$ ，从 $3$ 到无穷大，它收敛，因此该级数也收敛。

积分检验练习题

使用积分检验确定以下级数的收敛性或发散性，如果可能的话。

带书面解答的练习题

1. $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

提示

k\geq 1

k\geq 1

答案

收敛

解答

这是一个 p 级数，其中

p=2>1

，因此根据 p 级数检验，该级数收敛。
如下所示，我们用积分检验。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{1}^{\infty }{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{x^{-2}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\left[-x^{-1}\right]_{1}^{b}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{-b^{-1}+1^{-1}}}\\&=&0+1=1\end{array}}$

由于该反常积分是有限的，所以根据积分判别法，该级数收敛。
注意：积分中的值

1

不一定是级数收敛到的值。在这个上下文中，这个数字的意义仅仅在于它是有限的。

这是一个 p 级数，其中

p=2>1

，因此根据 p 级数检验，该级数收敛。
如下所示，我们用积分检验。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\int _{1}^{\infty }{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{{\frac {1}{x^{2}}}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\int _{1}^{b}{x^{-2}dx}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{\left[-x^{-1}\right]_{1}^{b}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{b\to \infty }{-b^{-1}+1^{-1}}}\\&=&0+1=1\end{array}}$

由于该反常积分是有限的，所以根据积分判别法，该级数收敛。
注意：积分中的值

1

不一定是级数收敛到的值。在这个上下文中，这个数字的意义仅仅在于它是有限的。

带视频解答的练习题

1	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}$	答案收敛收敛	解答		2	$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n[(\ln n)^{2}+4]}}$	答案收敛收敛	解答