微积分/反函数定理，隐函数定理

在本章中，我们想证明反函数定理（它断言如果一个函数在某一点具有可逆微分，那么它本身是局部可逆的）和隐函数定理（它断言某些集合是函数的图像）。

巴拿赫不动点定理

定理:

令 $(M,d)$ 是一个完备的度量空间，并且令 $f:M\to M$ 是一个 *严格的压缩映射*；也就是说，存在一个常数 $0\leq \lambda <1$ 使得

$\forall m,n\in M:d(f(m),f(n))\leq \lambda d(m,n)$.

那么 $f$ 具有唯一的 *不动点*，这意味着存在唯一的 $x\in M$ 使得 $f(x)=x$。此外，如果我们从一个完全任意的点 $y\in M$ 开始，那么序列

$y,f(y),f(f(y)),f(f(f(y))),\ldots$

收敛于 $x$。

证明:

首先，我们证明不动点的唯一性。假设 $x,y$ 都是不动点。那么

$d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y)\Rightarrow (1-\lambda )d(x,y)=0$.

由于 $0\leq \lambda <1$，这蕴含着 $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$。

现在我们证明序列 $y,f(y),f(f(y)),f(f(f(y))),\ldots$ 的存在性，同时证明关于该序列收敛性的断言。为了方便记号，我们令 $z_{0}:=y$，如果 $z_{n}$ 已经定义，我们令 $z_{n+1}=f(z_{n})$。那么序列 $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 就是序列 $y,f(y),f(f(y)),f(f(f(y))),\ldots$ 本身。

令 $n\geq 0$。我们断言

$d(z_{n+1},z_{n})\leq \lambda ^{n}d(z_{1},z_{0})$.

事实上，这可以通过对 $n$ 进行归纳证明。当 $n=0$ 时，该断言显然成立。如果该断言对 $n$ 成立，那么 $d(z_{n+2},z_{n+1})=d(f(z_{n+1}),f(z_{n}))\leq \lambda d(z_{n+1},z_{n})\leq \lambda \cdot \lambda ^{n}d(z_{1},z_{0})$。

因此，根据三角不等式，

${\begin{aligned}d(z_{n+m},z_{n})&\leq \sum _{j=n+1}^{n+m}d(z_{j},z_{j-1})\\&\leq \sum _{j=n+1}^{n+m}\lambda ^{j-1}d(z_{1},z_{0})\\&\leq \sum _{j=n+1}^{\infty }\lambda ^{j-1}d(z_{1},z_{0})\\&=d(z_{1},z_{0})\lambda ^{n}{\frac {1}{1-\lambda }}\end{aligned}}$.

后一个表达式当 $n\to \infty$ 时趋于零，因此我们正在处理一个柯西序列。由于我们处于一个完备的度量空间，因此它收敛于一个极限 $x$。这个极限进一步是一个不动点，因为 $f$ ($f$ 是一个常数为 $\lambda$ 的 Lipschitz 连续函数）意味着

$x=\lim _{n\to \infty }z_{n}=\lim _{n\to \infty }f(z_{n-1})=f(\lim _{n\to \infty }z_{n-1})=f(x)$.$\Box$

这个重要结果的一个推论是以下引理，它将是逆函数定理证明的主要成分。

引理:

令 $g:{\overline {B_{r}(0)}}\to {\overline {B_{r}(0)}}$ (${\overline {B_{r}(0)}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ 表示半径为 $r$ 的闭球）是一个 Lipschitz 连续函数，其 Lipschitz 常数小于或等于 $1/2$，使得 $g(0)=0$。那么函数

$f:{\overline {B_{r}(0)}}\to \mathbb {R} ^{n},f(x):=g(x)+x$

是单射的，并且 $B_{r/2}(0)\subseteq f(B_{r}(0))$.

证明:

首先，我们注意到对于 $y\in B_{r/2}(0)$，函数

$h:{\overline {B_{r}(0)}}\to \mathbb {R} ^{n},h(z):=y-g(z)$

是一个严格的压缩映射；这是由于

$\|y-g(z)-(y-g(z'))\|=\|g(z')-g(z)\|\leq {\frac {1}{2}}\|z-z'\|$.

此外，它将 ${\overline {B_{r}(0)}}$ 映射到自身，因为对于 $z\in {\overline {B_{r}(0)}}$

$\|y-g(z)\|\leq \|y\|+\|g(z-0)\|\leq {\frac {r}{2}}+{\frac {1}{2}}\|z\|\leq r$.

因此，Banach 不动点定理适用于 $h$。现在 $x$ 是 $h$ 的不动点等价于

$f(x)=y$,

因此 $B_{r/2}(0)\subseteq f(B_{r}(0))$ 来自不动点存在。此外，如果 $f(x)=f(x')$，则

${\frac {1}{2}}\|x-x'\|\geq \|g(x)-g(x')\|=\|f(x)-x-(f(x')-x')\|=\|x-x'\|$

因此 $x=x'$。因此是单射。$\Box$

反函数定理

定理:

设 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 是一个在邻域 $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ 内连续可微的函数，使得 $f'(x_{0})$ 可逆。则存在一个开集 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$，其中 $x_{0}\in U$，使得 $f|_{U}$ 是一个双射函数，其逆函数为 $f^{-1}:f(U)\to U$，该函数在 $x_{0}$ 处可微，并满足

$(f^{-1})'(f(x_{0}))=(f'(x_{0}))^{-1}$.

证明:

我们首先将问题简化为 $f(x_{0})=0$，$x_{0}=0$ 以及 $f'(x_{0})={\text{Id}}$ 的情况。实际上，假设所有这些函数都满足定理，现在设 $h$ 是一个满足定理要求的任意函数（可微性在 $x_{0}$ 处给出）。我们设定

${\tilde {h}}(x):=h'(x_{0})^{-1}(h(x_{0}-x)-h(x_{0}))$

并得到 ${\tilde {h}}$ 在 $0$ 处可微，其微分是 ${\text{Id}}$，并且 ${\tilde {h}}(0)=0$；第一个性质成立是因为我们将函数和线性仿射近似都乘以了 $h'(x_{0})^{-1}$ 并且仅仅平移了函数，而第二个性质则是从代入 $x=0$ 中得到的。因此，我们得到 ${\tilde {h}}$ 的逆，其微分在 ${\tilde {h}}(0)=0$ 处，如果我们现在设定

$h^{-1}(y):=({\tilde {h}}^{-1}(h'(x_{0})^{-1}(y-h(x_{0})))-x_{0})$,

可以看出 $h^{-1}$ 是 $h$ 的逆，具有所有所需性质（这是一个有点繁琐的练习，但只是涉及到定义而已）。

因此，设 $f$ 是一个函数，使得 $f(0)=0$，$f$ 在 $0$ 处可逆，并且 $f'(0)={\text{Id}}$。我们定义

$g(x):=f(x)-x$.

此函数的微分为零（因为微分是线性的，函数 $x\mapsto x$ 的微分是单位运算）。由于函数 $g$ 在 $0$ 的一个小邻域内也连续可微，我们发现存在 $\delta >0$ 使得

${\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(x)<{\frac {1}{2n^{2}}}$

对所有 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 和 $x\in B_{\delta }(0)$ 成立。由于另外 $g(0)=f(0)-0=0$，一般均值定理和柯西不等式意味着对于 $k\in \{1,\ldots ,n\}$ 和 $x\in B_{\delta }(0)$，

$|g_{k}(x)|=|\langle x,{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(t_{k}x)\rangle |\leq \|x\|n{\frac {1}{2n^{2}}}$

对于合适的 $t_{k}\in [0,1]$ 成立。因此，

$\|g(x)\|\leq |g_{1}(x)|+\cdots +|g_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\|x\|$ （三角不等式），

因此，我们得到我们的准备引理是适用的，并且 $f$ 是关于 ${\overline {B_{\delta }(0)}}$ 的双射，其像包含在开集 ${\overline {B_{\delta /2}(0)}}$ 内；因此我们可以选择 $U:=f^{-1}(B_{\delta /2}(0))$，由于 $f$ 的连续性，它是开放的。

因此，定理中最重要的一部分已经完成了。剩下的就是要证明 $f^{-1}$ 在 $0$ 处的可微性。现在我们甚至证明了更强一点的断言，即 $f^{-1}$ 在 $x_{0}$ 处的微分由单位矩阵给出，尽管这也可以在可微性被证明后从链式法则得出。

现在注意到，$g$ 的收缩恒等式暗示着 $f$ 的以下界限

${\frac {1}{2}}\|x\|\leq \|f(x)\|\leq {\frac {3}{2}}\|x\|$.

第二个界限来自

$\|f(x)\|\leq \|f(x)-x\|+\|x\|=\|g(x)\|+\|x\|\leq {\frac {3}{2}}\|x\|$,

而第一个界限来自

$\|f(x)\|\geq |\|f(x)-x\|-\|x\||=\left|\|g(x)\|-\|x\|\right|\geq {\frac {1}{2}}\|x\|$.

现在来讨论在 $0$ 处的可微性。根据极限的代入（因为 $f$ 是连续的，且 $f(0)=0$ )

${\begin{aligned}\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\|f^{-1}(\mathbf {h} )-f^{-1}(0)-\operatorname {Id} (\mathbf {h} -0)\|}{\|\mathbf {h} \|}}&=\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\|f^{-1}(f(\mathbf {h} ))-f(\mathbf {h} )\|}{\|f(\mathbf {h} )\|}}\\&=\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\|\mathbf {h} -f(\mathbf {h} )\|}{\|f(\mathbf {h} )\|}},\end{aligned}}$

其中最后一个表达式收敛于零，这是因为 $f$ 在 $0$ 处可微，微分为单位映射，并应用夹逼准则于表达式

${\frac {\|\mathbf {h} -f(\mathbf {h} )\|}{{\frac {3}{2}}\|\mathbf {h} \|}}$

以及

${\frac {\|\mathbf {h} -f(\mathbf {h} )\|}{{\frac {1}{2}}\|\mathbf {h} \|}}$.$\Box$

隐函数定理

定理:

令 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 是一个连续可微函数，并考虑集合

$S:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}$.

如果給定一些 $y\in S$ 使得 $\partial _{n}f(y)\neq 0$，那么我们找到了 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ 开集，其中 $(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\in U$，并且 $g:U\to S$ 使得

$y=g(y_{1},\ldots ,y_{n-1})$ 并且 $\{(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))|(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U\}\subseteq S$，

其中 $\{(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))|(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U\}$ 关于 $U$ 的子空间拓扑是开集。

此外，$g$ 是一个可微函数。

证明:

我们定义一个新函数

$F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},F(x_{1},\ldots ,x_{n}):=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n}))$.

该函数的微分如下所示

$F'(x)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &&0\\0&1&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&1&0\\\partial _{1}f(x)&&\cdots &&\partial _{n}f(x)\end{pmatrix}}$

由于我们假设 $\partial _{n}f(y)\neq 0$，$F'(y)$ 是可逆的，因此反函数定理意味着存在一个小开邻域 ${\tilde {V}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 包含 $y$，使得 *限制在该邻域上* $F$ 本身是可逆的，具有一个可微分的逆函数 $F^{-1}$，它本身在包含 $F(y)$ 的一个开集 ${\tilde {U}}$ 上定义。现在首先设置

$U:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})|(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)\in {\tilde {U}}\}$,

它相对于 $\mathbb {R} ^{n-1}$ 的子空间拓扑是开放的，然后

$g:U\to \mathbb {R} ,g(x_{1},\ldots ,x_{n-1}):=\pi _{n}(F^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0))$,

$F^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)$ 的第 $n$ 个分量。我们断言 $g$ 具有所需的性质。

事实上，我们首先注意到 $F^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},g(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))$，因为应用 $F$ 会使前 $n-1$ 个分量保持不变，因此通过观察 $F(F^{-1}(x))=x$ 我们得到了恒等式。因此，令 $(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U$。那么

${\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))&=(\pi _{n}\circ F)(F^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1},0))\\&=\pi _{n}((F\circ F^{-1})(z_{1},\ldots ,z_{n-1},0))=0\end{aligned}}$.

此外，集合

$\{(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))|(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U\}$

关于 $S$ 上的子空间拓扑是开放的。事实上，我们展示

$\{(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))|(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in U\}=S\cap {\tilde {V}}$.

对于 $\subseteq$，我们首先注意到左侧的集合在 $S$ 中，因为其中的所有点都映射到 $f$ 的零点。此外，

$F(z_{1},\ldots ,z_{n-1},g(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))=(z_{1},\ldots ,z_{n-1},0)\in {\tilde {U}}$

因此，当应用 $\subseteq$ 时，完成 $F^{-1}$。对于另一个方向，设 $S\cap {\tilde {V}}$ 中的点 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 为已知，应用 $F$ 可得

$F((x_{1},\ldots ,x_{n}))=(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)\in {\tilde {U}}$

因此，$(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in U$；进一步

$(x_{1},\ldots ,x_{n-1},g(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

通过对等式两边应用 $F$。

现在 $g$ 作为可微函数的组成部分自动可微。 $\Box$

非正式地说，上述定理指出，给定一个集合 $\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)=0\}$，可以选择前 $n-1$ 个坐标作为函数的“基”，其图形正是该集合的局部部分。