微积分/莱布尼茨公式计算圆周率

在数学中，马德哈瓦-莱布尼茨公式计算圆周率，是由印度数学家和天文学家桑伽马格拉玛的马德哈瓦在14世纪或15世纪的印度发现的。它后来被17世纪的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨重新发现并以他的名字命名，该公式指出

$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}},$

这是一个交替级数。虽然这个级数很容易写出来并计算，但它是一个非常低效的计算 $\pi$ 的方法，因此它很少在现代计算 $\pi$ 中使用。

证明

根据交替级数检验，该级数收敛。它满足检验的两个条件

I) 项在绝对值上单调递减。
II) 项随着索引 $n$ 趋于无穷而趋于0。

莱布尼茨公式计算圆周率是格雷戈里的反正切级数的一个特例，

$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$ ,

由数学家詹姆斯·格雷戈里在1668年发现。

由于 $\tan {\frac {\pi }{4}}=1$ ，因此， $\arctan 1={\frac {\pi }{4}}$ ，该公式是通过将 $x=1$ 代入格雷戈里的级数推导并证明的。

值得注意的是， $x=1$ 位于格雷戈里级数的收敛圆的边界上。对于 $x>1$ ，交替级数不满足两个标准：对于 $x>1$ ，项的绝对值增加，并且项趋于无穷大，这与交替级数收敛所需的相反。即使是 $x$ 的值非常接近 1，但仍然大于它，例如 $x=1.0001$ ，仍然位于级数的收敛半径之外。

表格

以下是前 10 个部分和以及选定的其他值得注意的部分和的表格。这个级数收敛于 ${\frac {\pi }{4}},$ ，精确到 16 位有效数字为 0.7853981633974483。通过将部分和乘以 4，找到的 $\pi$ 本身的近似值也显示出来。精确到 16 位有效数字， $\pi =3.1415926535897932$ .

注意：第二个和第三个部分和分别恰好是 ${\frac {2}{3}}$ 和 ${\frac {13}{15}}$ 。两个小数都具有重复的“6”；对于这些条目，仅显示前三个六，后面跟着三个点表示六无休止地重复。对于所有后面的项，总和四舍五入到小数点后 9 位，或最接近的十亿分之一。

n	部分和	对 pi 的近似值
1	1	1
2	0.666...	2.666...
3	0.8666...	3.4666...
4	0.723809524	2.895238095
5	0.834920635	3.339682540
6	0.744011544	2.976046176
7	0.820934621	3.283738484
8	0.754267954	3.017071817
9	0.813091484	3.252365935
10	0.760459905	3.041839619
11	0.808078952	3.232315809
12	0.764600691	3.058402766
50	0.780398663	3.121594653
100	0.782898226	3.131592903
250	0.784398167	3.137592670
500	0.784898164	3.139592656
1000	0.785148163	3.140592654
5000	0.785348163	3.141392654
10000	0.785373163	3.141492654
25000	0.785388163	3.141552654

一个有趣的现象

您可能已经注意到，在“四舍五入”的数字（如 100 或 5000）处选择的后面部分和看起来非常类似于极限和。例如，在 100 项的 3.131592903 的部分和，即使在第二位数字上与“3.14159265...”不一致（用“3”而不是“4”），在接下来的四位数字上也一致，共享“1592”部分。而在 1000 项的 3.140592654 的部分和在第三位数字上不同，但随后在“59265”部分上与 pi 一致。类似的行为也可以在部分和的第二列中看到，例如第 250 项，它在第三位数字上不同，但在第四位数字到第八位数字上一致（0.78439816 而不是 0.78539816）。这种模式在表格中剩余的部分和中非常一致。这并非偶然。这可以用欧拉数来预测。对于任何正整数 $n$ ，可以使用以下公式获得 $n$ 项对 $\pi$ 的非常接近的近似值

如果 $n$ 是奇数，则 $n$ 次对 $\pi$ 的近似值为 $\pi +{\frac {1}{n}}$ ，而 $n$ 次部分和近似为 ${\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{4n}}$ .
如果 $n$ 是偶数，则 $n$ 次对 $\pi$ 的近似值为 $\pi -{\frac {1}{n}}$ ，而 $n$ 次部分和近似为 ${\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4n}}$ .

此近似的误差为 $n^{-3}$ 量级，因此即使对于相对较小的 $n$ 值，此近似值也相当准确。即使只有四项，公式预测的 0.722898163 近似值与真实部分和 0.723809524 的差异也只有大约 ${\frac {1}{1100}}$ ，小于 10⁻³。对于所有 $n>40$ ，误差小于 10⁻⁶，对于所有 $n>856$ ，误差小于 10⁻¹⁰。