微积分/极限比较检验

极限比较检验

极限比较检验（LCT）和直接比较检验是两种检验方法，您可以在其中选择一个您已知的级数，并将其与您正在处理的级数进行比较，以确定其收敛或发散。这两种检验方法在比率检验之后最为重要，了解它们将非常有帮助。它们非常强大，使用起来也很容易。

极限比较检验定义

对于两个级数 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 和 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$，其中 $a_{n}>0$ 且 $t_{n}>0$，我们计算 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {a_{n}}{t_{n}}}\right]}=L}$。

1. 当 $L$ 是有限的正数时，这两个级数要么都收敛，要么都发散。
2. 当 $L=0$ 且 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 收敛时，则 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也收敛。
3. 当 $L=\infty$ 且 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 发散时，则 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 也发散。
4. 如果极限不存在，则该检验无法确定结果。

极限比较检验快速笔记

用于证明收敛性	是
用于证明发散	是
可能无法确定	是

1. 请注意，我们没有指定 $n$ - 求和的值。在微积分中这很常见，它只是意味着，对于此测试，级数从哪里开始并不重要（但它总是以无穷大“结束”，因为这是一个无穷级数）。
2. $\textstyle {\sum {a_{n}}}$ 是我们试图确定其收敛或发散的级数，它在题干中给出。
3. $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 是您选择的测试级数。

极限比较测试说明了什么

此测试非常简单。在我们的表示法中，我们说您试图确定其收敛或发散的级数是 $\textstyle {\sum {a_{n}}}$，而您知道其收敛或发散的测试级数是 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$。极限 $L$ 必须计算出来才能得出任何结论。

此外，请注意，分数可以颠倒，测试仍然适用于情况 1（但不适用于情况 2 和 3）。例如，如果您得到 $L=3$ 对于一个分数，那么您将得到 $L=1/3$ 对于另一个分数。两者都是有限的且为正的，两者都会告诉您您的级数是否收敛或发散。如果您颠倒分数，则情况 2 和 3 将改变。因此，如果您试图应用情况 2 或 3，务必检查您的分数。

何时使用极限比较测试

此测试不能一直使用。在尝试此测试之前，请检查以下内容。

• 与所有定理一样，必须满足测试条件。主要条件是 $a_{n}>0$。如果您的级数不符合这种情况，请先不要停止。查看绝对收敛定理，看看它是否有帮助。
• 第二个需要考虑的重要因素是极限是否可以求值。例如，如果您有一个振荡项，如正弦或余弦，那么您无法求出极限。因此，此测试将无法帮助您。在这种情况下，直接比较测试可能更有效。

如何选择测试级数

当您第一次学习此技术时，它可能看起来像测试级数凭空出现，您只是随机选择一个，看看它是否有效。如果无效，则尝试另一个。这不是选择测试级数的最佳方法。我发现的最佳方法是使用您被要求处理的级数，并找出测试级数。有几个因素需要考虑。

第一个关键是选择一个您知道收敛或发散的测试级数，并且它可以帮助您得到一个有限的、正的极限。

思路 1：如果您在分数的分子和分母中都有多项式，请删除除最高次幂项（在两部分中）以外的所有项，并简化。删除任何常数。您最终得到的结果可能是一个不错的比较级数。之所以有效，是因为随着 $n$ 越来越大，最高次幂占主导地位。您通常会得到一个您知道收敛或发散的p级数。

思路 2：选择一个p级数或几何级数，因为您可以立即判断它是否收敛或发散。

思路 3：如果您有一个正弦或余弦项，那么您始终可以确保结果小于或等于 1 且大于或等于负 1。如果您对角度没有界限，那么这是您能做到的最好的。因此，将正弦或余弦项替换为 1。

想法 4： 如果你有一个自然对数，使用以下事实 $\ln(n)\leq n$ 当 $n\geq 1$，用 $n$ 替换 $\ln(n)$，或者使用 $\ln(n)\geq 1$ 当 $n\geq 3$.

随着你对该测试的经验积累，确定一个好的测试序列会变得更容易。所以多做一些练习题。

极限比较测试证明

这里有一个视频展示了极限比较测试的证明。你不需要观看它来理解和使用极限比较测试。然而，我们在这里提供它，以供有兴趣的人观看。

极限比较测试的证明

视频推荐

如果你想了解关于极限比较测试的完整讲座，我们推荐观看 这段视频片段。正如标题所示，这段视频从（直接）比较测试开始，但我们让视频从他开始讨论极限比较测试的地方开始。

观看这两个视频片段将让你对极限比较测试有更好的了解。这两个片段都简短而切中要害。

级数、比较 + 比例测试

级数的直接比较测试 / 极限比较测试 - 基本信息

极限比较测试练习题

带有书面解答的练习题

确定以下级数的收敛或发散。如果可能，使用极限比较测试。如果 LCT 不确定，使用其他测试来确定收敛或发散。

1. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-1}{n^{3}+4}}$

提示

选择 $t_{n}=1/n$

答案

该级数根据极限比较测试发散。

解

使用测试级数 $\textstyle {\sum {1/n}}$，这是一个发散的 p 级数。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {a_{n}}{t_{n}}}\right|}}&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {n^{2}-1}{n^{3}+4}}{\frac {n}{1}}\right]}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {n^{3}-n}{n^{3}+4}}{\frac {1/n^{3}}{1/n^{3}}}\right]}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {1-1/n^{2}}{1+4/n^{3}}}\right]}=1}\end{array}}$

由于极限是有限且正的，所以两个级数要么收敛要么发散。由于检验级数发散，所以原始级数也发散。

2. $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+4}}}$

提示

选择 $t_{n}=1/n^{2}$

答案

该级数通过极限比较检验收敛。

解

与 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 进行比较，这是一个收敛的p级数，其中 $p=2$

$\displaystyle {a_{n}={\frac {1}{n^{2}+4}}}$，$\displaystyle {t_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{t_{n}}}}&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {1}{n^{2}+4}}\cdot {\frac {n^{2}}{1}}\right]}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left[{\frac {n^{2}}{n^{2}+4}}{\frac {1/n^{2}}{1/n^{2}}}\right]}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+4/n^{2}}}=1}\end{array}}$

由于 $0\leq \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{t_{n}}}=1<\infty$ 且 $\textstyle {\sum {t_{n}}}$ 收敛，该级数也收敛。

极限比较检验是检验该级数收敛性的最佳方法之一。

3. $\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3}{n^{2}+1}}}$

提示

选择 $t_{n}=1/n^{2}$

答案

该级数根据极限比较检验收敛。

解

有很多方法可以确定这个无穷级数的收敛或发散性。首先，我们注意到当 $n$ 变得非常非常大时，分母中的 1 与 $n^{2}$ 相比可以忽略不计。

因此，分数越来越接近 $1/n^{2}$。因此，让我们尝试将原始级数与 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ 进行比较。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{t_{n}}}}&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {3}{n^{2}+1}}\div {\frac {1}{n^{2}}}\right)}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {3}{n^{2}+1}}\cdot {\frac {n^{2}}{1}}\right)}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {3n^{2}}{n^{2}+1}}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {3}{1+1/n^{2}}}=3}\\\end{array}}$

由于极限为正且有限，这两个级数要么都收敛，要么都发散。级数 $\textstyle {\sum {1/n^{2}}}$ 收敛，因为它是一个以 $p=2$ 为幂的p级数，这意味着原始级数根据极限比较检验也收敛。

直接比较检验和积分检验可能也适用。

4. $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}}$

提示

选择 $t_{n}=1/n$

答案

该级数根据极限比较检验发散。

视频解答

解答视频链接

书面解答

有几种方法可以确定该无穷级数的收敛或发散。首先，我们注意到当n变得非常大时，分母中的1与 $n^{2}$ 相比变得可以忽略不计。所以该分数越来越接近 $n/n^{2}=1/n$。所以让我们尝试将原始级数与 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ 进行比较。

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{t_{n}}}}&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {n}{n^{2}+1}}\div {\frac {1}{n}}\right)}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {n}{n^{2}+1}}\cdot {\frac {n}{1}}\right)}}\\&=&\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}}{n^{2}+1}}=1}\end{array}}$

由于极限为正且有限，这两个级数要么都收敛，要么都发散。级数 $\textstyle {\sum {1/n}}$ 发散，因为它是一个p-级数，其中 $p=1$，这意味着原始级数也根据极限比较检验发散。

直接比较检验和积分检验也适用。

带视频解答的练习题

确定以下级数的收敛或发散。如果可能，使用极限比较测试。如果 LCT 不确定，使用其他测试来确定收敛或发散。

1	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {5n+2}{n^{3}+1}}$	答案 收敛	解答		2	$\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n^{2}-4}}}$	答案 发散	解答
3	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln(n)}{n^{3/2}}}$	答案 收敛	解答		4	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3n+1}{(2n-1)^{4}}}$	答案 收敛	解答
5	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {6n-1}}}$	答案 发散	解答		6	$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {10n^{2}}{n^{3}-1}}$	答案 发散	解答
7	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {5}{\sqrt {n^{2}-1}}}$	答案 发散	解答		8	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{4}+2n^{2}-1}{6n^{6}+4n^{4}}}$	答案 收敛	解答
9	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2/3}+1}}$	答案 发散	解答		10	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n^{3}-4}}$	答案 收敛	解答
11	$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sqrt {n}}{n-1}}$	答案 发散	解答		12	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {5}{2n^{2}+3}}$	答案 收敛	解答
13	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}+1}{n^{4}-n+5}}$	答案 发散	解答		14	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {n+3}}}{n+5}}$	答案 发散	解答