微积分/发散检验

发散检验

发散检验是最容易使用的无限级数检验，但学生可能会因错误使用而感到困惑。在本页中，我们将解释如何使用它以及如何避免与该检验相关的最常见陷阱之一。
发散检验也称为第 n 项检验。

发散检验定义

如果 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\neq 0}$，则 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$ 发散。

发散检验快速笔记

用于证明收敛性	否
用于证明发散性	是
可能是无结论的	是

如何使用发散检验

要使用发散检验，只需取极限 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}}$。如果此极限结果为非零，则级数发散，您就完成了。如果极限等于零，则该检验是无结论的，并且不会说明级数的任何信息。它可能收敛也可能发散。您需要使用其他检验来确定收敛或发散。

需要注意的事项

发散检验似乎非常直接。基本上，此检验指出，对于一个级数 $\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$，如果 $\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\neq 0}$，则该级数发散。非常简单，是吗？但是，有一个几乎每个学生都会陷入的陷阱。

陷阱 - - 几乎每个学生都有使用此定理来证明收敛性的倾向。该陈述没有说明关于收敛性的任何信息。让我们给你一些例子来证明我们的意思。让我们比较这两个非常相似的级数的收敛或发散。（如果您还不知道关于p级数的知识，请相信我们关于收敛/发散结论的说法。您很快就会明白这一点。）

A	$\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$	$\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$	发散	p级数，其中$p=1$
B	$\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$	$\displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}=0}$	收敛	p级数，其中$p=2$

需要注意的是，两种情况下，项的极限都趋于零。然而，级数A发散，而级数B收敛。（有关这两个级数收敛/发散的证明，请参阅无穷级数-积分检验页面中的视频。）

因此，您可以看到，仅仅因为极限趋于零，并不能保证级数收敛。只有当极限不趋于零时，才能应用此定理。这保证了发散。当极限趋于零时，您仍然不知道级数收敛还是发散。您需要使用其他检验来确定收敛性。

示例

确定以下级数是发散，还是发散检验无法确定。

示例1

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}$

因为$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+1}{n}}=1$，极限不为零，因此根据发散检验，该级数发散。

示例2

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}$

因为$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}={\frac {1}{3}}$，极限不为零，因此根据发散检验，该级数发散。

示例3

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}$

因为$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}=0$，极限为零，因此检验无法确定。需要进一步分析才能确定级数收敛还是发散。