比值检验可能是 **最重要的检验，也是你在学习无穷级数时最常用的检验**。它在幂级数中被大量使用。我认为它是所有检验中最强大的。所以我建议你从一开始就掌握它。它并不难，如果你代数能力很强，你甚至会发现使用它很有趣。另外，你越熟悉它，你做的练习题越多，你就能越快地看到一个级数，并几乎立即判断比值检验是否能告诉你你需要知道的内容。
用于证明收敛
是
用于证明发散
是
可能不确定
是
如果 L = ∞ {\displaystyle L=\infty } L > 1 {\displaystyle L>1}
a n {\displaystyle a_{n}} 需要计算无穷大的极限 当求和中包含某些元素时，比值检验最为适用。要对此有一个直观感受，可以在你做练习题时，构建一个包含有效检验示例的表格集。这是一种非常强大的技巧，可以帮助你真正理解无穷级数。
包含阶乘的求和。
包含带有 n {\displaystyle n} 一般来说，我们的想法是设置比率 lim n → ∞ | a n + 1 a n | = L {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}=L}} a n {\displaystyle a_{n}} a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}}
Key - It is important to remember to use the absolute value signs unless you are absolutely convinced that the term will always be positive. This is critical to practice up front since, once you get to Taylor Series, you can't and don't want to drop the absolute value signs. They are critical to the result. It is never wrong to include them and, as you work more problems, you will get a feel for when you need them and when you don't. In the practice problems and examples, we will use them unless we explicitly state that they are not needed. Some instructors are less rigid about this than others. As always, check with your instructor to see what they require.
如果你得到 L = ∞ {\displaystyle L=\infty }
在你取极限的分数中， n + 1 {\displaystyle n+1} n {\displaystyle n}
如果你得到 L = 1 {\displaystyle L=1} 这里有几个关于比率检验的证明。比率检验证明
这里有第二个证明，在 3 个独立的视频中展示。
你不需要观看这些证明才能使用和理解比率检验。我们在这里包含它们是为了那些感兴趣的人。
第一个视频剪辑 [1min-50secs] 是对比率检验的很好的概述。请注意，他没有使用绝对值符号，因此他要求项为正。级数、比较 + 比率检验
下一个视频的开头 [9min-19secs] 对比率检验进行了很好的讨论。然后，讲师展示了比率检验不确定的两个例子，以强调当比率检验不确定时，级数可能收敛或发散。收敛的比率检验
花几分钟时间浏览你的练习题列表。你会注意到有很多非常不同的练习题。解决无限级数问题的关键是找到模式，以便你能够快速缩小可能有效的方法到 2 或 3 种。对于比率检验有效的题目来说尤其如此。
使用比率检验（如果可能）确定这些级数的收敛或发散性。[这些说明意味着如果比率检验失败 ( L = 1 ) {\displaystyle (L=1)}
1. ∑ n = 0 ∞ [ n ! 2 n ] {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left[{\frac {n!}{2^{n}}}\right]}}
解答
只要有阶乘，比率检验通常都有效。因此，让我们尝试一下。
a n = n ! 2 n {\displaystyle \displaystyle {a_{n}={\frac {n!}{2^{n}}}}} 以及
a n + 1 = ( n + 1 ) ! 2 n + 1 {\displaystyle \displaystyle {a_{n+1}={\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}}} lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | ( n + 1 ) ! 2 n + 1 ÷ n ! 2 n | = lim n → ∞ | ( n + 1 ) ! 2 n + 1 ⋅ 2 n n ! | {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}=\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\div {\frac {n!}{2^{n}}}\right|}=\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{n!}}\right|}}} 现在合并同类项。
2 n 2 n + 1 = 2 n 2 ( 2 n ) = 1 / 2 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {2^{n}}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}}{2(2^{n})}}=1/2}} ( n + 1 ) ! n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4... n ⋅ ( n + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4... n = n + 1 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {(n+1)!}{n!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...n\cdot (n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...n}}=n+1}} 因此，我们的极限现在是
lim n → ∞ | n + 1 2 | = ∞ 2 = ∞ > 1 → {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {n+1}{2}}\right|}={\frac {\infty }{2}}=\infty >1\to }} 级数发散。
注意 - 我们可以在整个问题中省略绝对值符号，因为这些项始终为正。但是，为了完全遵循定理，我们需要它们，除非我们明确说明比率为正。这是一种常见做法（尽管并不总是好的做法），即在没有解释的情况下省略它们，老师经常这样做。如果你不理解某些东西，一定要问。
只要有阶乘，比率检验通常都有效。因此，让我们尝试一下。
a n = n ! 2 n {\displaystyle \displaystyle {a_{n}={\frac {n!}{2^{n}}}}} 以及
a n + 1 = ( n + 1 ) ! 2 n + 1 {\displaystyle \displaystyle {a_{n+1}={\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}}} lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | ( n + 1 ) ! 2 n + 1 ÷ n ! 2 n | = lim n → ∞ | ( n + 1 ) ! 2 n + 1 ⋅ 2 n n ! | {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}=\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\div {\frac {n!}{2^{n}}}\right|}=\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{n!}}\right|}}} 现在合并同类项。
2 n 2 n + 1 = 2 n 2 ( 2 n ) = 1 / 2 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {2^{n}}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}}{2(2^{n})}}=1/2}} ( n + 1 ) ! n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4... n ⋅ ( n + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4... n = n + 1 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {(n+1)!}{n!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...n\cdot (n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...n}}=n+1}} 因此，我们的极限现在是
lim n → ∞ | n + 1 2 | = ∞ 2 = ∞ > 1 → {\displaystyle \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{\left|{\frac {n+1}{2}}\right|}={\frac {\infty }{2}}=\infty >1\to }} 级数发散。
注意 - 我们可以在整个问题中省略绝对值符号，因为这些项始终为正。但是，为了完全遵循定理，我们需要它们，除非我们明确说明比率为正。这是一种常见做法（尽管并不总是好的做法），即在没有解释的情况下省略它们，老师经常这样做。如果你不理解某些东西，一定要问。
1
∑ k = 1 ∞ [ 3 k k 2 ] {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left[{\frac {3^{k}}{k^{2}}}\right]}}
解答
2
∑ n = 1 ∞ [ ( 2 n ) ! n ! n ! ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left[{\frac {(2n)!}{n!n!}}\right]}}
解答
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left[{\frac {n!}{2^{n}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d7147eee04f81db4b761889f66fb06062db7e9)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left[{\frac {3^{k}}{k^{2}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9630fa679042473e216d648b949be31d7dc11f)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left[{\frac {(2n)!}{n!n!}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12accb13f493ce321f184c6b9b3a17efefcd140e)