微积分/级数

简介

级数是数列各项的和。无穷级数是无穷多个项的和（级数的实际和不一定是无穷大，正如我们将在下面看到的那样）。

等差级数是数列各项的和，其中各项具有公差（连续项之间的差）。例如

$1+4+7+10+13+\cdots$

是一个公差为 3 的等差级数，因为 $a_{2}-a_{1}=3$, $a_{3}-a_{2}=3$，依此类推。

等比级数是各项具有公比的级数。例如，一个有趣的级数出现在科学、工程和数学中的许多实际问题中，它是等比级数 $r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots$，其中 $\cdots$ 表示级数无限地继续下去。研究特定级数的一种常见方法（遵循柯西）是定义一个数列，该数列包含前 $n$ 项的总和。例如，为了研究等比级数，我们可以考虑将前 n 项相加的数列

$S_{n}(r)=\sum _{i=1}^{n}r^{i}$

一般来说，通过研究部分和数列，我们可以了解整个无穷级数的行为。

关于级数，有两个最重要的问题是

• 它收敛吗？
• 如果是，它收敛到什么？

例如，对于 $r>1$，等比级数 $S_{n}(r)$ 不会收敛到一个有限数（即它会发散到无穷大）。要看到这一点，请注意，每次我们增加级数中的项数时，$S_{n}(r)$ 会增加 $r^{n+1}$，因为对于所有 $r>1$（正如我们定义的那样），$r^{n+1}>1$，$S_{n}(r)$ 必须在每一项增加超过 1 的数值。当每一项增加的数值都超过 1 时，它就会发散。

也许更令人惊讶和有趣的事实是，对于 $|r|<1$，$S_{n}(r)$ 会收敛到一个有限值。具体来说，可以证明

$\lim _{n\to \infty }S_{n}(r)={\frac {r}{1-r}}$

事实上，考虑数量

$(1-r)S_{n}(r)=(1-r)\sum _{i=1}^{n}r^{i}=\sum _{i=1}^{n}r^{i}-\sum _{i=2}^{n+1}r^{i}=r-r^{n+1}$

由于 $r^{n+1}\to 0$ 作为 $n\to \infty$ 对于 $|r|<1$，这表明 $(1-r)S_{n}(r)\to r$ 作为 $n\to \infty$。数量 $1-r$ 不为零并且不依赖于 $n$ 所以我们可以用它来除，从而得到我们想要的公式。

我们希望能够对任何级数得出类似的结论。

不幸的是，没有简单的方法来求级数的和。在大多数情况下，我们所能做的就是确定它是否收敛。几何级数和伸缩级数是我们唯一可以轻松求和的级数类型。

收敛性

很明显，对于一个级数收敛，$a_{n}$ 必须趋于零（因为无限多个大于任何给定正数的项的和将是无穷大），但即使序列的极限为 0，这也不足以说明它收敛。

考虑调和级数，${\frac {1}{n}}$ 的和，并将项分组

${\begin{matrix}\sum \limits _{n=1}^{2^{m}}{\frac {1}{n}}&=&1+{\frac {1}{2}}&+&{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}&+&{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}&+\ \cdots &+&\sum \limits _{p=1+2^{n-1}}^{2^{n}}{\frac {1}{p}}\\\\&>&{\frac {3}{2}}&+&{\frac {2}{4}}&+&{\frac {4}{8}}&+\ \cdots &+&{\frac {2^{n-1}}{2^{n}}}\\\\&=&{\frac {3}{2}}&+&{\frac {1}{2}}&+&{\frac {1}{2}}&+\ \cdots &+&{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$

这个最终的和包含m项。当m趋于无穷大时，和也趋于无穷大，因此级数发散。

我们也可以推断出它发散的速度。使用相同的项分组方法，我们可以得到前若干项的和（即部分和）的上界。

$1+{\frac {m}{2}}\leq \sum _{n=1}^{2^{m}}{\frac {1}{n}}\leq 1+m$

或者

$1+{\frac {\log _{2}(m)}{2}}\leq \sum _{n=1}^{m}{\frac {1}{n}}\leq 1+\log _{2}(m)$

部分和像$\log _{2}(m)$一样增长，速度非常慢。

比较检验

上面的论证，基于考虑项的上界和下界，可以修改为提供一个通用的收敛和发散检验方法，称为比较检验（或直接比较检验）。它可以应用于任何具有非负项的级数

• 如果$\sum b_{n}$收敛并且$0\leq a_{n}\leq b_{n}$，则$\sum a_{n}$收敛。
• 如果$\sum b_{n}$发散并且$0\leq b_{n}\leq a_{n}$，则$\sum a_{n}$发散。

有许多这样的收敛和发散检验方法，我们将在下面描述其中最重要的几种。

绝对收敛

定理：如果绝对值序列 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ 收敛，那么序列 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 也收敛。

我们称这样的序列绝对收敛。

证明

令 $\epsilon >0$

根据级数收敛的柯西准则，存在 $N$ 使得对于所有 $N<m,n$ 

$\sum _{k=n}^{m}|a_{k}|<\epsilon$

我们知道

$\left|\sum _{k=n}^{m}a_{k}\right|\leq \sum _{k=n}^{m}|a_{k}|$

然后我们得到

$\left|\sum _{k=n}^{m}a_{k}\right|\leq \sum _{k=n}^{m}|a_{k}|<\epsilon$

现在我们得到

$\left|\sum _{k=n}^{m}a_{k}\right|<\epsilon$

这正是级数收敛的柯西准则。

$Q.E.D$

反过来不成立。序列 $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$ 收敛，即使其绝对值的序列发散。

像这样收敛但不是绝对收敛的序列被称为条件收敛。

如果一个序列绝对收敛，我们可以按任何顺序添加项。极限仍然相同。

如果一个序列条件收敛，重新排列项会改变极限。事实上，我们可以通过选择合适的重新排列来使序列收敛到我们想要的任何极限。

例如，在序列 $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$ 中，我们可以只添加正项直到部分和超过 100，然后减去 1/2，然后再只添加正项直到部分和超过 100，然后减去 1/4，以此类推，得到一个具有相同项的序列，该序列收敛到 100。

这使得绝对收敛序列更容易处理。因此，本章中除了一个之外的所有收敛性测试都是针对所有项均为正的序列，这些序列必须是绝对收敛或发散序列。其他序列将通过考虑相应的绝对值序列来研究。

比值测试

对于一个项为 $a_{n}$ 的序列，如果

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r$

那么

• 当 $r<1$ 时，该级数收敛（绝对收敛）
• 当 $r>1$（或 $r$ 为无穷大）时，该级数发散
• 当 $r=1$ 时，该级数可能收敛也可能发散，因此在这种情况下该检验不具有确定性。

例如，假设

$a_{n}={\frac {n!n!}{(2n)!}}$

那么

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)}}={\frac {n+1}{4n+2}}\to {\frac {1}{4}}$

因此，该级数收敛。

积分检验

如果 $f(x)$ 是一个单调递减的，始终为正的函数，那么级数

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

收敛当且仅当积分

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx$

收敛。

例如，考虑 $f(x)={\frac {1}{x^{p}}}$，对于固定的 $p$。

• 如果 $p=1$，这就是调和级数，它发散。
• 如果 $p<1$，每一项都比调和级数更大，因此它发散。
• 如果 $p>1$，那么

$\int _{1}^{\infty }x^{-p}dx$	$=\lim _{s\to \infty }\int _{1}^{s}x^{-p}dx$
	$=\lim _{s\to \infty }-{\frac {1}{(p-1)x^{p-1}}}{\Bigg |}_{1}^{s}$
	$=\lim _{s\to \infty }\left({\frac {1}{p-1}}-{\frac {1}{(p-1)s^{p-1}}}\right)$
	$={\frac {1}{p-1}}$

当 $p>1$ 时，积分收敛，因此级数也收敛。

我们可以通过将积分写成以下形式来证明该测试有效：

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx$

并比较每个积分与矩形，得出以下不等式：

$f(n)\geq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\geq f(n+1)$

将这些应用于和，就能证明收敛性。

极限比较测试

给定一个无穷级数 $\sum a_{n}$，其中所有项均为正数，如果能找到另一个无穷级数 $\sum b_{n}$，其所有项均为正数，且满足以下条件：

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L$

其中 $L$ 为一个正的有限值（即极限存在且不为零），那么这两个级数要么都收敛，要么都发散。也就是说：

• $\sum a_{n}$ 收敛，如果 $\sum b_{n}$ 收敛，并且
• $\sum a_{n}$ 发散，如果 $\sum b_{n}$ 发散。

例子

$a_{n}=n^{-{\frac {n+1}{n}}}$

对于较大的 $n$，此级数的项与调和级数的项类似，但比调和级数的项要小。我们比较极限。

$\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim {\frac {n^{-{\frac {n+1}{n}}}}{\frac {1}{n}}}=\lim {\frac {n}{n^{\frac {n+1}{n}}}}=\lim {\frac {1}{n^{\frac {1}{n}}}}=1>0$

所以这个级数发散。

交替级数

给定一个无穷级数 $\sum a_{n}$，如果 $a_{n}$ 的符号交替，即如果

$a_{n}=(-1)^{n}|a_{n}|$

对于所有 n 或

$a_{n}=(-1)^{n+1}|a_{n}|$

对于所有 $n$，那么我们称它为一个 交替级数。

交替级数检验指出这样的级数收敛当且仅当

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

以及

${\bigl |}a_{n+1}{\bigr |}<|a_{n}|$

（也就是说，项的大小正在减小）。

注意，这个检验 不能得出级数发散的结论；如果不能得出级数收敛的结论，那么这个检验是不确定的，虽然其他检验当然可以用来给出结论。

估计交替级数的和

使用交替级数的部分和来估计无穷级数的最终和所产生的绝对误差小于第一个被省略项的大小。

$\left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}-\sum _{n=1}^{m}a_{n}\right|<{\bigl |}a_{m+1}{\bigr |}$

几何级数

几何级数可以采用以下两种形式之一

$\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}$ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}$

正如开头所见，等比级数的和为

$s=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}\quad {\mbox{ for }}|r|<1$.

伸缩级数

$\sum _{n=0}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

展开（或“伸缩”）这种类型的级数是有启发性的。如果我们展开这个级数，我们得到

$\sum _{n=0}^{k}(b_{n}-b_{n+1})=(b_{0}-b_{1})+(b_{1}-b_{2})+\cdots +(b_{k-1}-b_{k})$

加法抵消留下

$\sum _{n=0}^{k}(b_{n}-b_{n+1})=b_{0}-b_{k}$

因此，

$\sum _{n=0}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}(b_{n}-b_{n+1})=\lim _{k\to \infty }(b_{0}-b_{k})=b_{0}-\lim _{k\to \infty }b_{k}$

剩下的就是评估极限。

还有其他测试可以使用，但这些测试足以应对所有常见的级数。