微积分/黎曼-达布积分、可积性判据、单调/利普希茨函数

积分

我们上次介绍了什么

$L(f)=\sup _{P}L(P,f)$

$U(f)=\inf _{P}U(P,f)$

实际上被称为下积分和上积分。只要它们所构建的函数满足以下条件，则它们同时都是积分，即可积性的定义（但不是可积性判据）。

在 $[a,b]$ 上的有界函数 $f$ 是可积的，如果 $L(f)=U(f)$.

这就是积分的全部内容！

再次回到那个求和练习

这是一个快速的小问题，可能很简单。这意味着什么 $f(x)=x$ ?

可积性

正如我们之前定义的，我们可以通过注意到 $U(f)=L(f)$ 来证明一个函数或一类函数的可积性。

然而，有一个更有用的方法来证明一个函数或一类函数是可积的。这就是被称为可积性判据的定理。

在 $[a,b]$ 上的有界函数 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 在 $[a,b]$ 上是可积的，当且仅当对于所有 $\varepsilon >0$，存在 $[a,b]$ 的一个划分 $P$，使得 $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$

你会注意到它具有与极限定义类似的性质。

由于这是必要性的证明，假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。令 $\varepsilon >0$ 为任意给定的正数，并令 $I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 。同样地， $I=\inf _{Q}U(Q,f)=\sup _{R}L(R,f)$ 。现在根据近似性质，存在一个划分 $Q$ 使得 $U(Q,f)<I+{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ ，以及一个划分 $R$ 使得 $L(R,f)>I-{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ 。如果我们取精化 $P=Q\sup R$ 并应用之前证明的精化性质

$U(P,f)<I+{\frac {\varepsilon }{2}}$

和

$L(P,f)>I-{\frac {\varepsilon }{2}}$

我们可以将它转化为

$U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$

现在，为了完成这个双条件式的证明...

可积性准则证明

你做吧。如果对于所有$\varepsilon >0$，存在$P$ 的$[a,b]$ 分割，使得 $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$，那么$f$ 在$[a,b]$ 上可积。

一些提示：证明它意味着$U(f)-L(f)<\varepsilon$ 对于所有$\varepsilon >0$，然后证明只有当$U(f)=L(f)$ 时才成立。