变分法/第二章

第二章：曲线特殊变分的例子。应用于悬链线。

• 22 问题 I，第一章中的总变分。
• 23 邻近曲线的束。
• 24 第一变分。
• 25 积分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{ d}}x$
• 26 第一变分的消失。
• 27 应用于问题 I。
• 28 该问题的微分方程。
• 29 积分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(y,y'){\text{ d}}x$
• 30 第 26 条微分方程的解。
• 31 区域的概念，在这个区域内两条邻近曲线不交叉。
• 32 悬链线。

第 22 条.
让我们再次考虑第 6 条中的积分，

${\frac {S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x\qquad {\text{[1]}}$.

假设有一个由两固定点$P_{0}$和$P_{1}$之间的曲线旋转而成的最小表面积，并且设此曲线为$y=f(x)$。设$\eta$为该曲线与任何相邻曲线在$y$-坐标上的距离，并假设$\eta$是$x$的连续函数，且满足以下条件：当$x=x_{0}$时，$\eta =0$；当$x=x_{1}$时，$\eta =0$；对于所有其他点，$|\eta |<\rho$，其中$\rho$可以任意小。

$\eta '={\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}x}}$并且$\int _{x_{0}}^{x_{1}}\eta '~{\text{d}}x=[\eta ]_{x_{0}}^{x_{1}}=0$

与 [1] 相对应的任何相邻曲线的积分是

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}(y+\eta ){\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}(y+\eta )}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x\qquad {\text{[2]}}$.

因此，当我们取相邻曲线时，[1] 中产生的总变化为

${\frac {\Delta S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}(y+\eta ){\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}(y+\eta )}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x-\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x{\text{.}}\qquad {\text{[3]}}$

$\Delta S$ 始终为正，因为所讨论的曲面是一个最小值。

第 23 条.
我们不必考虑一条相邻曲线，而可以考虑整个曲线簇，如果将 $\eta$ 替换为 $\epsilon \eta$，其中 $\epsilon$ 与 $x$ 无关，且在 $-1$ 与 $+1$ 之间取任意值。那么表达式 [3] 变为

${\frac {\Delta S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}(y+\epsilon \eta ){\sqrt {1+\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}(y+\epsilon \eta )\right)^{2}}}~{\text{d}}x-\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x{\text{;}}\qquad {\text{[4]}}$

并且，根据泰勒定理展开 $\Delta S$，

$\Delta S=\epsilon \delta S+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}S+{\frac {\epsilon ^{3}}{3!}}\delta ^{3}S+\cdots \qquad {\text{[5]}}$

在这个最后的展开式中没有常数项，因为当在 [4] 中将 $\epsilon$ 设为零时，第一个和第二个积分相互抵消。

$\delta S$ 被称为 *一阶变分*，

$\delta ^{2}S$ 被称为第二次变分等等。

我们不需要取 $\eta$ 为一个非常小的量，我们可以取 $\epsilon$ 足够小，使得 $\epsilon \eta$ 尽可能小。

用拉格朗日（Misc. Taur.，tom. II，p. 174）的写法，写作 $\eta =\delta y$，可以看出 $y$ 的总变化是 $\epsilon \eta =\epsilon \delta y=\Delta y$。

备注。微分符号和变分符号可以互换；例如，变分的1阶导数等于导数的1阶变分，如下所示：

$\eta =\delta y$，那么 $\eta '=(\delta y)'={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}})(\delta y).\qquad {\text{[i]}}$

再次 $\eta =\delta y$；将 $y$ 变成 $y+\epsilon \eta$，因此 $y'$ 变成 $y'+\epsilon \eta '$。因此 $\eta '$ 是 $y'$ 的第一次变分，所以

$\eta '=\delta y'=\delta \left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{;}}\qquad {\text{[ii]}}$

因此，根据[i]和[ii]

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}(\delta y)=\delta \left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)$.

因此，由于假定存在$\eta '$，我们也必须假定存在$y$ 的二阶微分系数。

第 24 条.
回到 [4]，写$y'={\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}$，$\eta '={\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}x}}$。然后展开积分符号下的表达式

$(y+\epsilon \eta ){\sqrt {1+(y'+\epsilon \eta ')^{2}}}-y{\sqrt {1+y'^{2}}}$,

我们有

$\epsilon \left[\eta {\sqrt {1+(y'+\epsilon \eta ')^{2}}}+{\frac {(y+\epsilon \eta )(y'+\epsilon \eta ')\eta '}{\sqrt {1+(y'+\epsilon \eta ')^{2}}}}\right]_{\epsilon =0}+\epsilon ^{2}(\ldots )$.

因此，将 [4] 和 [5] 中$\epsilon$ 的 1 次方的系数相等，我们有

${\frac {\delta S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}\eta +{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\eta '\right)~{\text{d}}x$,

这是一个关于$\eta$ 和$\eta '$ 的一阶齐次函数。数量$\eta '$ 不能无限大，因为如果那样的话，展开式不一定收敛；但请参阅第 116 条。

以类似的方式，我们可以找到二阶变分的定积分，其中被积函数是关于$\eta$ 和$\eta '$ 的二阶齐次函数的积分；三阶变分也是如此。

第 25 条.
作为上一章问题 I、II、III 和 IV 中给出的积分形式，考虑积分

$I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,y')~{\text{d}}x$,

其中 $F(x,y,y')$ 是 $x$、$y$ 和 $y'$ 的已知函数，并且该积分的上下限，$x_{1}$ 和 $x_{0}$ 是固定的。因此，如上所述，

$\Delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y_{\epsilon }\eta ,y'+\epsilon \eta ')~{\text{d}}x-\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,y')~{\text{d}}x=\int _{x_{0}}^{x_{1}}[F(x,y_{\epsilon }\eta ,y'+\epsilon \eta ')-F(x,y,y')]~{\text{d}}x$.

当用泰勒定理展开这个表达式时，得到

$\Delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\epsilon \eta +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\epsilon \eta '+\epsilon ^{2}(\cdots )+\cdots \right)~{\text{d}}x$.

我们还有，如第 23 节所述，

$\Delta I=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+\cdots$;

通过比较这两个表达式中 $\epsilon$ 的系数，可以得到

$\delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right)~{\text{d}}x\qquad {\text{(A)}}$

在第 22 节给出的特例中，$F=y{\sqrt {1+y'^{2}}}$。因此

${\frac {\partial F}{\partial y}}={\sqrt {1+y'^{2}}}$ 以及 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}={\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}$；

当这些关系代入 (A) 时，我们有，如第 24 条：

$\Delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}\eta +{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\eta '\right)~{\text{d}}x$

第 26 条.
从关系式

$\Delta I=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+\cdots$

可以看出，当 $\epsilon$ 取非常小的值时，$\epsilon ^{2}$ 接近于零；因此，当 $\epsilon$ 为正且无限小时，$\Delta I$ 为 *正*。另一方面，当 $\epsilon$ 为无限小且为负时，$\Delta I$ 为 *负*。

因此，积分的总变化量 $\Delta I$ 将为正或负，取决于 $\epsilon$ 为正或负，只要 $\delta I$ 不等于零；因此，积分不可能有最大值或最小值。

然而，我们知道，如果 $I$ 是最大值，那么 $\Delta I$ 始终为 *负*，如果 $I$ 是最小值，那么 $\Delta I$ 始终为 *正*；因此，为了使积分具有最大值或最小值，$\delta I$ 必须为零。

第 27 条.
将以上结果应用于第 22 条给出的例子，我们有

$0=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}\eta +{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}x}}\right)~{\text{d}}x\qquad {\text{[6]}}$

使用分部积分法

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}~{\text{d}}\eta =\left[{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\eta \right]_{x_{0}}^{x_{1}}-\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)\eta ~{\text{d}}x$;

并且根据假设（见第22条），$\eta =0$ 在两个固定点 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 上都为真，我们有

$\left[{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\eta \right]_{x_{0}}^{x_{1}}=0$.

因此 [6] 可以写成

$0=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)\right)\eta ~{\text{d}}x\qquad {\text{[7]}}$

第28条.
我们断言，在上式中

${\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)$

在极限 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 之间，$\eta$ 必须始终为零。因为，假设情况并非如此，那么，由于 $\eta$ 是任意的，我们可以用 Heine 的方法写成

$\eta =(x-x_{0})(x_{1}-x)\left({\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)\right)$,

其中，当 $x=x_{0}$ 和 $x=x_{1}$ 时，$\eta$ 变为零。将这个 $\eta$ 的值代入 [7]，我们得到

$=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)\right)^{2}(x-x_{0})(x_{1}-x)~{\text{d}}x{\text{,}}\qquad {\text{[8]}}$

这是一个在整个区间 $x_{0}\ldots x_{1}$ 内都为正的表达式。

[8] 中的被积函数，看作无限小元素的总和，所有元素都具有相同的符号且为正；因此，[8] 的右端成员为零的唯一可能情况是

${\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)=0$

因此，我们得到了一个二阶微分方程，用于确定未知量 $y$。

第 29 条.
这个微分方程是更一般微分方程的特例，更一般微分方程可以从积分

$I=F(y,y')~{\text{d}}x$;

中推导出来，如前所述（第 25 和 27 条）。

$\delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right)~{\text{d}}x=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right)\eta ~{\text{d}}x$.

正如第 27 条所述，我们有

${\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)=0$

或者

${\frac {\partial F}{\partial y}}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\qquad {\text{[9]}}$

但是

${\text{d}}F(y,y')={\frac {\partial F}{\partial y}}{\text{d}}y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\text{d}}y'\qquad {\text{[10]}}$

或者

${\text{d}}F(y,y')-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}{\text{d}}y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\text{d}}y'\right)=0$

因此，由 [9] 可知，

${\text{d}}F(y,y')-\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right){\text{d}}y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\text{d}}y'\right)=0$,

或者

${\text{d}}F(y,y')-{\text{d}}\left(y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)=0$,

并积分，

$F(y,y')-y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}=C{\text{,}}\qquad {\text{[11]}}$,

其中$C$是积分常数。

关系式[11]仅当被积函数中**不显式**包含变量$x$时才成立；否则关系式[10]将不成立，我们也无法推导出[11]。

第30条.
将此关系式[11]应用于上述特殊情况（第28条），其中

$F(y,y')=y{\sqrt {1+y'^{2}}}$,

我们有

$y{\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {yy'^{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=m$,

$m$是积分常数，我们将在后面更详细地讨论它。

上述表达式可以写成

${\frac {y(1+y'^{2}-y'^{2})}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=m$,

或者

$y=m{\sqrt {1+y'^{2}}}\qquad {\text{[I]}}$.

从[I]中可以直接得出

$y^{2}-m^{2}=m^{2}\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}\qquad {\text{[II]}}$;

而[II]对$x$求导后为

$y=m^{2}{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}$.

这个微分方程的两个解是

$y=e^{x/m}$ 和 $y=e^{-x/m}$,

因此，其通解为

$y=c_{1}e^{x/m}+c_{2}e^{-x/m}{\text{.}}\qquad {\text{[III]}}$

在这个表达式中，我们似乎有三个任意常数，$m$，$c_{1}$ 和 $c_{2}$；但从 [II] 中，我们有，在将 $y^{2}$ 和 $\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}$ 代入到 [III] 中，

$m^{2}=4c_{1}c_{2}$.

因此，在 [III] 中写作，

$c_{1}={\frac {1}{2}}me^{-x_{0}'/m}$ 和 $c_{2}={\frac {1}{2}}me^{x_{0}'/m}$

其中 $x_{0}'$ 是一个常数，我们有

$y={\frac {1}{2}}m[e^{(x-x_{0}')/m}+e^{-(x-x_{0}')/m}]{\text{.}}\qquad {\text{[III']}}$

这两个常数 $x_{0}'$ 和 $m$ 是由曲线通过两个固定点 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 这两个条件确定的。

第 31 条.
从第 19 条的描述中可以看出，至少在一定范围内，两条相邻曲线在其整个范围内都是不同的。这意味着在曲线 $C$ 周围存在一个“邻域”，在这个邻域内，该曲线不会被任何相邻曲线所交。假设曲线 $C_{\epsilon }$ 是通过将 $y$ 替换为 $y+\epsilon \eta$ 从曲线 $C$ 推导出来的（参见第 22 条）。考虑通过改变 $\epsilon$ 在 $-1$ 和 $+1$ 之间获得的曲线族 $(C_{\epsilon })$。对于足够小的 $\epsilon$ 值，曲线 $C_{\epsilon }$ 将位于假设存在的邻域内，并且我们曲线族的一部分将位于该邻域内。这是假设存在旋转极小曲面的一个**必要结果**。然而，作为条件，它不足以保证存在一条生成这种曲面的曲线。事实上，由曲线 $C_{\epsilon }$ 生成的曲面都大于由曲线 $C$ 生成的曲面，并不能阻止以不同于生成曲线 $C_{\epsilon }$ 的方式构造一条相邻曲线，该曲线将生成一个旋转曲面，其表面积小于由 $C$ 旋转产生的旋转曲面。

确定对于哪条曲线 $C$ 以上条件可以满足是有用的，虽然这并不能证明曲线 $C$ 生成一个旋转极小曲面，但至少它会限制我们期望找到一个生成极小曲面的曲线所在的曲线范围。对这个更有限的曲线范围的进一步研究可能会找到生成极小曲面的曲线，或者证明它们不存在。在进一步的研究中，我们将推导出确保存在最大值或最小值的充分条件。

第 32 条.
从第 30 条得出的结论表明，如果存在一条曲线提供所需的最小曲面，那么这条曲线必须是悬链线。由于悬链线必须穿过两个固定点 $P_{0}$ 和 $P_{1}$，我们可以根据这两个关系确定常数 $m$ 和 $x_{0}'$（参见公式 [III']，第 30 条）。

$y_{0}={\frac {1}{2}}m[e^{(x_{0}-x_{0}')/m}+e^{-(x_{0}-x_{0}')/m}]$

$y_{1}={\frac {1}{2}}m[e^{(x_{1}-x_{0}')/m}+e^{-(x_{1}-x_{0}')/m}]$

我们将在下一章看到，根据上述方程的解为我们提供 *两* 条悬链线，*一条* 悬链线，或者*没有* 悬链线，会出现三种情况。

首先，可以证明，最靠近 $X$-轴的悬链线永远不能提供最小曲面。第二种情况是，上面提到的两条悬链线重合，在这种情况下，将在两点之间绘制无数条曲线，每条曲线都会产生相同的旋转面积。这些结果归功于 Todhunter（参见下一章开头的参考文献）。