变分法

变分法

本维基教科书是哈里斯·汉考克在 1904 年撰写的《变分法讲义》（魏尔斯特拉斯理论）的转录版本。扫描的原文可以从康奈尔大学的这里获得。

内容

前言

第一章：变分法主要问题的提出。

• 1 变分法与极值理论之间的联系。

问题 I. 绕给定轴旋转时产生最小表面积的曲线。

• 2,3,4 用极值方法解决这个问题。
• 5,6 变分法与极值理论的区别。
• 7 坐标 $x$，$y$ 表示为参数 $t$ 的函数。用参数 $t$ 表达的问题 I。
• 8,9 问题 II. 最速降线。
• 10 问题 III. 给定曲面上的最短线。
• 11 用参数 $t$ 表达问题的优势。
• 12 问题 IV. 最小阻力旋转曲面。
• 13 问题的普遍陈述。
• 14 端点的变化。
• 15 问题 V. 等周问题。
• 16 问题 VI. 重心位置最低的曲线。
• 17 相对极值中一般问题的陈述。
• 18 可以做的推广。
• 19 曲线的变分。最大值和最小值的分析定义。邻近曲线。
• 20 一般问题的另一种陈述。
• 21 预设最大值或最小值存在的不可取性。
• 问题

第二章：曲线特殊变分示例。应用于悬链线。

• 22 总变分，在第一章问题 I 的情况下。
• 23 一束邻近曲线。
• 24 一阶变分。
• 25 积分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{d}}x$
• 26 一阶变分的消失。
• 27 应用于问题 I。
• 28 该问题的微分方程。
• 29 积分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(y,y'){\text{d}}x$
• 30 解 26 节的微分方程。
• 31 两条邻近曲线不交的区域的概念。
• 32 悬链线。

第三章：悬链线的性质。

• 33 初步说明。
• 34 悬链线的一般方程。
• 35 其切线的几何构造。
• 36 悬链线的几何构造。
• 37 当给定悬链线上的一点以及该点处的切线方向时，悬链线是唯一确定的。
• 38 悬链线必须位于的极限。
• 39,40,41 可以通过两个固定点绘制的悬链线的数量。
• 42 函数 $f_{1}(m)$ 和 $f_{2}(m)$.
• 43 对函数 $f_{1}(m)$ 的讨论。
• 44 对函数 $f_{2}(m)$ 的讨论。
• 45 对超越方程的根的近似几何构造。
• 46,47,48 函数 $f_{1}(m)$ 和 $f_{2}(m)$ 的图形表示。
• 49,50 出现的不同情况以及相应的悬链线数量。
• 50,51,52 每个情况中，过两个固定点的切线的交点位置。
• 53,54 两条悬链线的公切线。
• 55 具有相同参数且仅在一个点相交的悬链线。
• 56 林德洛夫定理。
• 57 同一定理的第二种证明。
• 58,59 讨论旋转极小曲面可能性的几种情况。
• 60,61 应用于肥皂泡。

第四章: 函数 $F(x,y,x',y')$ 的性质。

• 62 函数 $F$ 定义为其参数的函数。
• 63,64,65,66,67 必要条件和充分条件。
• 68 函数 $F(x,y,x',y')$ 必须是关于 $x'$ 和 $y'$ 一次齐次函数。
• 69 函数 $F(x,y,x',y')$ 的可积性。
• 70 当 $x$ 和 $y$ 互为单值函数时，积分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\left(x,y,1,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{d}}x$。
• 71 引入变量 $t$ 或 $s$。
• 72 函数 $F$ 的解析条件。
• 73 引入函数 $F_{1}$。

第五章: 用解析方法表示曲线变化。第一变分。

• 74 到目前为止使用的变化的一般形式。
• 75 函数 $\xi$ 和 $\eta$。它们的连续性。
• 76 相邻曲线。第一变分。
• 77 函数 $G$、$G_{1}$ 和 $G_{2}$.
• 78 证明一个重要的 *引理*。
• 79 一阶变分的消失和微分方程 $G=0$.
• 80 用 $F$ 和 $F_{1}$ 表示的 *曲率*。
• 81 沿法线和切线方向的成分 $w_{N}$ 和 $w_{T}$.
• 82 沿切线方向和法线方向的变分。
• 83 积分路径的间断点。不规则曲线。
• 84,85 说明上一篇文章的欧拉问题。
• 86 总结。

第 VI 章: 微分方程 $G=0$ 的解的形式。

• 87 微分方程 $G=0$ 的另一种形式。
• 88 函数 $F_{1}$ 的另一种形式。
• 89 用幂级数进行积分。
• 90 微分方程 $G=0$ 的解 $x=\phi (t,\alpha ,\beta )$，$y=\psi (t,\alpha ,\beta )$.
• 91,92 当 $F_{1}=0$ 在曲线的初始点。
• 93 当 $s$ 是自变量时，微分方程 $G=0$ 的形式。
• 94 该方程的解。
• 95 曲线在所讨论的区间内不能有奇点。曲线任何点的坐标用 $s$ 的幂级数表示。

第七章：去除一些限制，微分方程的积分$G=0$ 在第一章问题的应用。

• 96 曲线可以由有限个规则轨迹组成，而不是单个规则轨迹。
• 97 $F$ 对 $x'$ 和 $y'$ 的一阶导数对于曲线 $G=0$ 以连续方式变化，即使此曲线的方向发生突然变化。
• 98 对上一节中给出的结果的解释。
• 99 总结。
• 100 针对第一章问题 I 的微分方程的解。
• 101,102 不连续解。
• 103 方程 $G=0$ 的解，针对第九节问题 II。
• 104 这两个固定点必须位于摆线的同一个环上。
• 105 经过两点可以画出一条且只有一条摆线环，它不包含尖点。
• 106 问题 III. 表面上的最短线问题。
• 107 用不同的方式得出的相同结果。
• 108 问题 IV. 提供最小阻力的旋转面。
• 109,110 方程 $G=0$ 的解，针对第一章问题 IV。

第八章：第二变分；它的符号由函数 $F_{1}$ 的符号决定。

• 111 引入的替换的性质和存在性。
• 112 总变分。
• 113,114 函数 $F$ 的第二变分。
• 115 积分 $I$ 的第二变分。在确定最大值或最小值时第二变分的符号。
• 116 不连续性。
• 117 使第二变分的符号依赖于 $F_{1}$ 的符号。
• 118 所做变换的可接受性。微分方程 $J=0$ 。
• 119 第二变分的一种简单形式。
• 120 二阶线性微分方程的一般性质。
• 121 第二变分和函数 $F_{1}$ 。函数 $F{1}$ 不能改变符号，并且必须与 $0$ 和 $\infty$ 不同，以便存在最大值或最小值。

第九章：共轭点。

• 122 微分方程 $J=0$ 的第二变分。
• 123,124 方程 $G=0$ 和 $J=0$ 的解。第二变分源于第一变分。
• 125 $G=0$ 解中的常数变分。
• 126 微分方程 $J=0$ 的解 $u_{1}$ 和 $u_{2}$。
• 127 这些解彼此独立。
• 128 函数 $\Theta (t,t')$。共轭点。
• 129 曲线上共轭点之间的相对位置。
• 130 比值 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 的图形表示。
• 131 总结。
• 132 曲线 $G=0$ 和 $\delta G=0$ 的交点。
• 133 当两个共轭点为积分限时，以及当一对共轭点位于这些积分限之间时的第二变分。

第十章: 在某些特殊变分假设下推导出的准则也足以建立迄今为止使用的公式。

• 134 所用方法是逐步排除法。
• 135 对三个已经推导出的必要条件的总结。
• 136,137 特殊变分。总变分。
• 138 二次型的定理。
• 139 建立从第二变分推导出的条件。
• 140,141,142,143,144 对第一章的前四个问题的应用。

第十一章: 关于提供积分最小值或最大值的曲线场的概念。共轭点的几何意义。

• 145 场的概念。
• 146 属于曲线族 $G=0$ 的相邻曲线。
• 147 级数反演中的一个一般定理。
• 148 用 $k$ 的幂级数表示相邻曲线的坐标，其中 $k$ 是相邻曲线和原始曲线初始方向之间的三角函数正切。
• 149 一条满足方程 $G=0$ 的曲线，一旦知道它的初始点和该点处的切线方向，就可以确定。
• 150 对 $k$ 赋予的限制。场的概念的扩展。
• 151 两条相邻曲线的交点。共轭点。
• 152 一个点不能是它自身的共轭点。函数 $\Theta (t,t')$ 的导数在导致函数本身消失的点处不消失。

第十二章: 存在最大值或最小值的第四个也是最后一个条件，以及证明给出的条件是充分的。

• 153 场的概念从前一章继续。
• 154 函数 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$.
• 155 函数 ${\mathcal {E}}$ 必须对曲线的每个点都有相同的符号。
• 156 上述条件的充分性。
• 157 函数 ${\mathcal {E}}$ 的另一种形式。
• 158 另一种形式。
• 159,160 函数 ${\mathcal {E}}$ 和 $F_{1}$ 的符号。
• 161 另一种证明如第 156 条所述条件的充分性。
• 162 函数 ${\mathcal {E}}$ 不能在给定场中的整个曲线上为零。
• 163 共轭点的包络线。
• 164 曲线可以由有限数量的规则轨迹组成。
• 165 轨迹不规则的情况。
• 166 积分学中的推广。
• 167,168,169,170,171,172 对已经考虑的四个问题的应用。
• 173 当 $F(x,y,x',y')$ 是 $x'$ 和 $y'$ 的有理函数，则积分不可能存在最大值或最小值。
• 174 一般总结。
• 175 扩展和推广：除了在两个变量域中确定第一类结构外，还可以要求在 $n$ 个量域中确定第一类结构。
• 176 当变量之间存在条件方程时。
• 177 当出现二阶及更高阶导数时。
• 178 变分法应用于确定更高阶结构。极小曲面。

相对极值

第 XIII 章：问题陈述。必要条件的推导。

• 179 一般问题陈述。
• 180 存在替换，通过这些替换，一个积分保持不变，而另一个积分发生变化。特殊情况。
• 181 两个变量的情况。出现的级数的收敛性。
• 182 引入的替换的性质。
• 183 形成仅取决于曲线性质的某些商。
• 184 泛化，其中几个积分保持固定值。
• 185 两个定积分的商用 $\lambda$ 表示，证明了 $\lambda$ 对整条曲线都有相同的常数值。
• 186 微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$.
• 187 第 97 条定理的推广。
• 188 间断等。
• 189 二阶变分：第 135 条中提出的三个条件在这里也是必要的。

第 XIV 章：等周问题。

• 190 问题陈述。
• 191 出现的积分的更简单形式。
• 192 此问题的函数 $F_{1}$。
• 193 积分出现的微分方程。
• 194 一个直接的结果是施泰纳定理：可以自由变化的曲线部分是等圆的圆弧。
• 195 如果存在一条曲线，它在给定周长下包围了最大的表面积，那么这条曲线就是圆形。
• 196 圆形具有此性质的允许性。

第 XV 章：限制变分。施泰纳定理。

• 197 沿着曲线两个不同部分的 197 种变分。
• 198 一点必须保持在固定曲线上的变分。
• 199 应用于特定情况。
• 200 曲线的一部分与固定曲线重合的变分。
• 201 涉及多个变量和多个积分的推广。
• 202 当圆（第 195 节）无法内接于固定边界时，等周问题。
• 203 施泰纳提出的两个问题的陈述。批评他关于变分法不足以证明这些问题的断言。
• 204 魏尔斯特拉斯提出的两个比施泰纳更一般的问题，以及它们通过变分法得到的证明。
• 205 ${\mathcal {E}}$ 函数在固定边界上的行为。
• 206 进一步讨论有关此函数的内容。
• 207 当边界曲线在被可变曲线逼近的点处突然改变方向时的情况。
• 208 曲线在一点与边界相交然后离开的情况。
• 209 两部分曲线的切线与固定曲线的切线形成相等的角。
• 210 等周问题的反向。
• 211 考虑问题：在平面上给定三个不在同一直线上的点。要求用一定长度的直线依次穿过它们，并包围尽可能大的表面积。
• 212 重叠曲线部分的表达式。
• 213 微分方程的解可以是直线或圆弧。
• 214 将问题简化为极值理论中的一个问题。
• 215 问题的解决。

第十六章：确定给定长度和给定端点的曲线，其重心位于最低位置。

• 216 问题的陈述。
• 217 必要条件
• 218 相对于固定准线，可以通过两个给定点且具有规定长度的悬链线的数量。
• 219 常数被唯一确定。

第十七章：充分条件。

• 220 问题的解决，无需使用二次变分。
• 221 ${\mathcal {E}}$ 函数。
• 222 由此函数带来的后果。
• 223 关于最大化或最小化积分的曲线的场。
• 234 进一步讨论包络空间的性质。
• 225 位于第一个包络空间内的包络空间的性质。
• 226 ${\mathcal {E}}$ 条件的充分性。
• 227 假设，通过初始点和包络空间中的任何其他点，只能绘制一条曲线，该曲线满足微分方程（参见第 230 节）。
• 228 ${\mathcal {E}}$ 函数不能沿着位于包络空间内的整个曲线为零（参见第 230 节）。
• 229 扩展所用积分的含义。

第十八章：证明上一章中假设的两个定理。

• 230 本章证明的两个定理是

1) 可以构造关于满足问题微分方程的曲线的一个空间部分，以至于始终可以将该有限空间中的任何点与初始点用一条且仅一条同样满足微分方程的曲线连接起来。

2) 函数 ${\mathcal {E}}$ 不能在该空间部分内的整个曲线中消失。

• 231 空间中曲线的方程。坐标用幂级数表示。
• 232 通过初始点和初始方向确定曲线。两条曲线通过同一个初始点且初始方向相差给定小量的条件。
• 233 其中一条曲线穿过另一个曲线上的一个点附近的点的条件。由此条件产生的行列式 $D(t_{0},t)$。
• 234 与此行列式相关的共轭点。
• 235 端点彼此共轭的情况。
• 236 微分方程 $G=0$ 和行列式 $D(t_{0},t)$。
• 237 行列式 $D(t_{0},t)$ 的简化。
• 238,239,240,241,242 行列式 $D(t_{0},t)$ 在消失时改变符号。
• 241 一个例外情况。
• 243 与初始点共轭的点是穿过初始点的相邻曲线的交点的极限。
• 244 当在行列式 $D(t_{0},t)$ 中，量 $t_{0}$ 以连续的方式变化，与 $t_{0}$ 共轭的点也以连续的方式变化。
• 245,246,247,248 关于 *包含共轭点的曲线的一部分可以被改变，使得其中一个积分的总变化量可以是正的或负的，而另一个积分保持不变* 的定理证明。
• 249,250,251,252 函数 ${\mathcal {E}}$ 不能在上述空间部分内的整个曲线中消失。
• 253,254,255,256 对于 *等周问题* 的 ${\mathcal {E}}$ 函数。
• 256,257 对于 *重心最低的曲线* 的 ${\mathcal {E}}$ 函数。